Anwendung von Quotientenregel

Question

Aufgabe: Leite \( \frac{y}{(1+x^{2})} \) ab.

u = y

u´ = 1

v = 1+\( x^{2} \)

v´ = 2x

Quotientenregel: \( \frac{u´*v-u*v´}{v^{2}} \)

Eingesetzt:

\( \frac{1*(1+x^{2})-y*2x}{(1+x^{2})^{2}} \) = \( \frac{1-2xy}{1+x^{2}} \)

in der Lösung steht aber \( \frac{-2xy}{(1+x^{2})^{2}} \) obwohl der Nenner (1+\(x^{2}\))^2 ja eigentlich durch 1+\( x^{2} \)im Zähler gekürzt werden müsste. Was mache ich falsch, wenn ich doch exakt die Formel benutze, wie vorgegeben ?

Comments

Die Lösung ist richtig, wenn y für eine Konstante steht (ansonsten müsste auch angegeben sein, wonach überhaupt abgeleitet wird)

dann ist u' = 0

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Ableitung nach x

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Ableitung nach x

Du leistest aber auch nach y ab, wenn aus y durch Ableitung 1 wird. Betrachte y wie eine feste Zahl. Setzte dir z.B. für y erstmal eine Zahl ein, damit du das besser verstehst.

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Ja, habe ich schon verstanden.

Answer 1

Zunächst mal sollte man wissen, ob nach x oder nach y abzuleiten ist. Ich nehme an, nach x. Dann ist y als Konstante zu betrachten.

f(x, y) = y/(1 + x²) = y·(1 + x²)^(-1)

Ableitung regulär über Kettenregel

f'x(x, y) = - y·(1 + x²)^(-2)·(2·x) = - 2·x·y·(1 + x²)^(-2) = - 2·x·y/(1 + x²)²

Ableitung über Quotientenregel

f'x(x, y) = (0·(1 + x²) - y·(2·x)) / (1 + x²)² = - 2·x·y/(1 + x²)²

Comments

Ach so, ja, wenn y eine Konstante ist, wenn man nach x ableitet, dann ist ja die Ableitung 0, und wenn ich die Quotientenregel benutze habe ich:

\( \frac{0 * (1+x^2) - y * 2x}{(1+x^2)^2} \) = \( \frac{-2xy}{(1+x^2)^2} \) wie in der Lösung, ok, verstanden.

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Prima. Dann ist es richtig.

Answer 2

Du kannst nicht kürzen.

Dazu müsstest du 1+x² im Zähler ausklammern, was hier nicht sinnvoll ist.

Du müsstest auch -2xy mit (1+x²) kürzen.

vgl:

(ab+ac)/a² = ((a*(b+c))/a² = (b+c)/a                         

Comments

Warum soll ich nicht kürzen können ? (1+x²)² ist nichts anderes als (1+x²)*(1+x²) und wenn im Zähler auch (1+x²) steht, kann ich doch kürzen.

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Warum soll ich nicht kürzen können ?

Da gibt es die Regel "Aus Differenzen und Summen kürzen die .... " :-)

Answer 3

Bei den Antworten wurde nicht nach x abgeleitet,

sondern partiell nach x abgeleitet.

Eine korrekte Ableitung wäre

\(\frac{y'}{1+x^2}-\frac{2xy}{(1+x^2)^2}\).

Wenn \(y\) konstant ist, geht dies über in \(f_x\).