Sei
\( \mathcal{P}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x, y \in \mathbb{Q}\right\} \)
die Menge der Punkte der reellen Ebene, deren Koordinaten rationale Zahlen sind. Die Geraden \( g \in \mathcal{G} \) seien diejenigen Teilmengen von \( \mathbb{R}^{2} \), die durch eine Gleichung der Form \( a x+b y=c \) mit \( a, b, c \in \mathbb{Q} \) gegeben sind, wobei \( a, b \) nicht beide 0 sind. Zeigen Sie:
(a) Auf jeder Geraden \( g \in \mathcal{G} \) liegen unendlich viele Punkte \( p \in \mathcal{P} \).
(b) Sind \( P \neq Q \in \mathcal{P} \), so ist die reelle Gerade \( P Q \) eine Gerade in \( \mathcal{G} \).
(c) Sind \( g, h \in \mathcal{G} \) zwei Geraden, die einen reellen Schnittpunkt \( S \in \mathbb{R}^{2} \) haben, so hat dieser Schnittpunkt rationale Koordinaten.
(d) Zwei Geraden \( g, h \in \mathcal{G} \) sind genau dann parallel, wenn sie als reelle Geraden parallel sind.
(e) Was passiert mit (a), (b), (c) und (d), wenn man nicht fordert, dass \( a, b \) nicht beide 0 sind.
