Zeigen Sie: Was passiert mit (a), (b), (c) und (d), wenn man nicht fordert, dass a, b nicht beide 0 sind.

Question

Sei
$\mathcal{P}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x, y \in \mathbb{Q}\right\}$
die Menge der Punkte der reellen Ebene, deren Koordinaten rationale Zahlen sind. Die Geraden $g \in \mathcal{G}$ seien diejenigen Teilmengen von $\mathbb{R}^{2}$, die durch eine Gleichung der Form $a x+b y=c$ mit $a, b, c \in \mathbb{Q}$ gegeben sind, wobei $a, b$ nicht beide 0 sind. Zeigen Sie:
(a) Auf jeder Geraden $g \in \mathcal{G}$ liegen unendlich viele Punkte $p \in \mathcal{P}$.
(b) Sind $P \neq Q \in \mathcal{P}$, so ist die reelle Gerade $P Q$ eine Gerade in $\mathcal{G}$.
(c) Sind $g, h \in \mathcal{G}$ zwei Geraden, die einen reellen Schnittpunkt $S \in \mathbb{R}^{2}$ haben, so hat dieser Schnittpunkt rationale Koordinaten.
(d) Zwei Geraden $g, h \in \mathcal{G}$ sind genau dann parallel, wenn sie als reelle Geraden parallel sind.
(e) Was passiert mit (a), (b), (c) und (d), wenn man nicht fordert, dass $a, b$ nicht beide 0 sind.

Answer 1

Dann ist $\emptyset\in \mathcal G$ durch Wahl von $a=b=0$ und $c=1$.

Außerdem ist dann $\mathbb{R}^2 \in \mathcal G$ durch Wahl von $a=b=c=0$.

Comments

War das die ganze aufgabe?

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Das weiß ich nicht. Ich habe die Aufgabe nicht geschrieben.

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hast du die aufgabe gelesen?

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Ja, ich habe die Aufgabe gelesen.