Sei
P={(x,y)∈R2∣x,y∈Q}
die Menge der Punkte der reellen Ebene, deren Koordinaten rationale Zahlen sind. Die Geraden g∈G seien diejenigen Teilmengen von R2, die durch eine Gleichung der Form ax+by=c mit a,b,c∈Q gegeben sind, wobei a,b nicht beide 0 sind. Zeigen Sie:
(a) Auf jeder Geraden g∈G liegen unendlich viele Punkte p∈P.
(b) Sind P=Q∈P, so ist die reelle Gerade PQ eine Gerade in G.
(c) Sind g,h∈G zwei Geraden, die einen reellen Schnittpunkt S∈R2 haben, so hat dieser Schnittpunkt rationale Koordinaten.
(d) Zwei Geraden g,h∈G sind genau dann parallel, wenn sie als reelle Geraden parallel sind.
(e) Was passiert mit (a), (b), (c) und (d), wenn man nicht fordert, dass a,b nicht beide 0 sind.