Wahr oder falsch? Sei G endlich und zyklisch. Gilt m | ord(G), so hat G einen Normalteiler N, so dass ord(G/N) = m.

Question

Aufgabe:

Wahr oder falsch?
Sei G endlich und zyklisch. Gilt m | ord(G), so hat G einen Normalteiler N, so dass ord(G/N) = m.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht mal, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Vom Gefühl her würde ich sagen falsch, aber weiß kein Gegenbeispiel... Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke im Voraus :D

Answer 1

Sei G endlich und zyklisch.

Dann ist G abelsch. Somit ist jede Untergruppe von G Normalteiler.

ord(G/N) = m

Das ist genau dann der Fall, wenn ord(N) = ord(G)/m ist.

Damit genügt es, zu zeigen oder zu widerlegen, dass G zu jedem Teiler t von ord(G) eine Untergruppe U mit ord(U) = t hat.

Übrigens ist \(G\) isomorph zur additiven Gruppe des Restklassenrings \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) für ein \(n\in \mathbb{N}\).