x+y+z=0 => x^3+y^3+z^3=3xyz

Question

Hi, Ich suche den genauen Weg mit dem man beweisen kann, dass x^3+y^3+z^3=3xyz, wenn x+y+z=0.
Dies soll nur durch Umformen von der 2. Gleichung in die 1. geschehen.
Vielen Dank schon mal :)

Answer 1

x + y + z = 0

z = -x - y

Nun in die andere Gleichung einsetzen

x^3 + y^3 + z^3 = 3·x·y·z

x^3 + y^3 + (-x - y)^3 = 3·x·y·(-x - y)

- 3·x^2·y - 3·x·y^2 = - 3·x^2·y - 3·x·y^2

Die letzte Gleichung ist sicher immer erfüllt.