Bestimmen Sie das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn

Question

Aufgabe: Wir betrachten das Vektorfeld F : R² → R² , (x, y) → (x² − e^y, xy + cos(x)).
Bestimmen Sie das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen
Einheitsquadrates.

Problem/Ansatz: Könnt ihr mir bitte sagen, wie ich bei diese Aufgabe vorgehen kann um dies zu lösen?

Answer 1

Aloha :)

Du hast ein Kraftfeld $F$ gegeben:$$\vec F(x;y)=\binom{x^2-e^y}{xy+\cos x}$$In diesem Kraftfeld sollst du einmal entgegen dem Uhrzeigersinn das Einheitsquadrat entlang laufen. Der Weg ist also:$$C\colon\binom{0,5}{0,5}\to\binom{-0,5}{\phantom-0,5}\to\binom{-0,5}{-0,5}\to\binom{\phantom-0,5}{-0,5}\to\binom{0,5}{0,5}$$

Das Wegintegral liefert die dazu nötige Energie:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_C\vec F(x;y)\,\binom{dx}{dy}$$$$\phantom E=\small\int\limits_{(\frac12|\frac12)}^{(-\frac12|\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\!\!\!\!\!\int\limits_{(-\frac12|\frac12)}^{(-\frac12|-\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\!\!\!\!\!\int\limits_{(-\frac12|-\frac12)}^{(\frac12|-\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(\frac12|-\frac12)}^{(\frac12|\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}$$

Bei den Integrationsgrenzen ist immer eine Variable konstant, wodurch das zugehörige Differential verschwindet:$$\phantom E=\small\int\limits_{x=\frac12}^{-\frac12}\vec F\left(x;\frac12\right)\binom{dx}{0}+\int\limits_{y=\frac12}^{-\frac12}\vec F\left(-\frac12;y\right)\binom{0}{dy}+\int\limits_{x=-\frac12}^{\frac12}\vec F\left(x;-\frac12\right)\binom{dx}{0}+\int\limits_{y=-\frac12}^{\frac12}\vec F\left(\frac12;y\right)\binom{0}{dy}$$$$\phantom E=\small\int\limits_{x=\frac12}^{-\frac12}(x^2-\sqrt e)\,dx+\int\limits_{y=\frac12}^{-\frac12}\left(\cos\left(\frac12\right)-\frac y2\right)dy+\int\limits_{x=-\frac12}^{\frac12}\left(x^2-\frac{1}{\sqrt e}\right)dx+\int\limits_{y=-\frac12}^{\frac12}\left(\cos\left(\frac12\right)+\frac y2\right)dy$$$$\phantom E=\left(\sqrt e-\frac{1}{12}\right)-\cos\left(\frac12\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{\sqrt e}\right)+\cos\left(\frac12\right)=\sqrt e-\frac{1}{\sqrt e}=\frac{e-1}{\sqrt e}$$

Comments

vielen lieben Dank :)

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Müsste das Einheitsquadrat nicht üblicherweise durch die Punke (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) laufen?

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Liegt der Mittelpunkt des Einheitskreises bei $(1|1)$ ?

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Zumindest im Englischen Sprachraum geht das Einheitsquadrat üblicherweise durch die von mir genannten Punkte.

Wolfram MathWorld

Wikipedia - EN

Das Tschakabumba-Einheitsquadrat darf selbstverständlich anders sein - inklusive "streng-logischer" Begründung. :-D

Answer 2

Hallo

du parametrisierst die vier Strecken, ich nehme an, das Quadrat mit den Ecken (0,0) und (1,1)? dann fang mit der Strecke vom (0,0) bis (1,0 an, c(t)=(0,t) t von 0 bis 1, dann von (1,0 ) nach (1,1) c(t)=(1,t) t von 0 bis 1 usw.

dann f(c(t))*c'(t) über die 4  Wege integrieren und alle 4 Wege bis wieder (0,0) addieren

Gruß lul