Aloha :)
Du hast ein Kraftfeld \(F\) gegeben:$$\vec F(x;y)=\binom{x^2-e^y}{xy+\cos x}$$In diesem Kraftfeld sollst du einmal entgegen dem Uhrzeigersinn das Einheitsquadrat entlang laufen. Der Weg ist also:$$C\colon\binom{0,5}{0,5}\to\binom{-0,5}{\phantom-0,5}\to\binom{-0,5}{-0,5}\to\binom{\phantom-0,5}{-0,5}\to\binom{0,5}{0,5}$$
Das Wegintegral liefert die dazu nötige Energie:$$E=\int\limits_C\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_C\vec F(x;y)\,\binom{dx}{dy}$$$$\phantom E=\small\int\limits_{(\frac12|\frac12)}^{(-\frac12|\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\!\!\!\!\!\int\limits_{(-\frac12|\frac12)}^{(-\frac12|-\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\!\!\!\!\!\int\limits_{(-\frac12|-\frac12)}^{(\frac12|-\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}+\int\limits_{(\frac12|-\frac12)}^{(\frac12|\frac12)}\!\!\!\!\!\vec F(x;y)\binom{dx}{dy}$$
Bei den Integrationsgrenzen ist immer eine Variable konstant, wodurch das zugehörige Differential verschwindet:$$\phantom E=\small\int\limits_{x=\frac12}^{-\frac12}\vec F\left(x;\frac12\right)\binom{dx}{0}+\int\limits_{y=\frac12}^{-\frac12}\vec F\left(-\frac12;y\right)\binom{0}{dy}+\int\limits_{x=-\frac12}^{\frac12}\vec F\left(x;-\frac12\right)\binom{dx}{0}+\int\limits_{y=-\frac12}^{\frac12}\vec F\left(\frac12;y\right)\binom{0}{dy}$$$$\phantom E=\small\int\limits_{x=\frac12}^{-\frac12}(x^2-\sqrt e)\,dx+\int\limits_{y=\frac12}^{-\frac12}\left(\cos\left(\frac12\right)-\frac y2\right)dy+\int\limits_{x=-\frac12}^{\frac12}\left(x^2-\frac{1}{\sqrt e}\right)dx+\int\limits_{y=-\frac12}^{\frac12}\left(\cos\left(\frac12\right)+\frac y2\right)dy$$$$\phantom E=\left(\sqrt e-\frac{1}{12}\right)-\cos\left(\frac12\right)+\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{\sqrt e}\right)+\cos\left(\frac12\right)=\sqrt e-\frac{1}{\sqrt e}=\frac{e-1}{\sqrt e}$$
