Lösungen einer Differentialgleichung in implizierter Form

Question

Aufgabe:

Sei a₀ ∈ ℝ. Man bestimme sämtliche Lösungen der folgenden Differentialgleichung:
2x·(a) x''(a) − x'(a)² − 1 = 0, a ∈ R

mit x(a₀) = x₀ ≠ 0.

Beachte hier, dass diese Differentialgleichung in einer impliziten Form gegeben ist.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Prüfe mal, ob Du die Dgl richtig abgeschrieben hast (nicht nur den $\cdot$ zwischen x und (a)). Im Text ist ja auf jeden Fall ein Fehler, denn "impliziert" ist hier gar nichts.

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Es heißt nicht "implizierte Form", sondern "implizite Form".

Answer 1

Hallo,

Man bestimme sämtliche Lösungen der folgenden Differentialgleichung:

Comments

Das "usw." würde mich hier interessieren. Ich sehe da keine Dgl mit getrennten Variablen.

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Mein Einwand bleibt bestehen.

Answer 2

Hallo,

Ansatz mit einer Potenzreihe: $$x(a)= k_0 + k_1a + k_2a^2 {\color{grey} + \sum\limits_{i=3}^{n}k_ia^{i}}\\ x'(a)=k_1+2k_2a \\ x''(a)= 2k_2$$Einsetzen in die DGL gibt$$\begin{aligned}2x(a)x''(a) - x'(a)^2 - 1&=0 \\ 2\left(k_0 + k_1a + k_2a^2\right)\cdot 2k_2 - \left(k_1+2k_2a\right)^2 - 1 &= 0 \\ (4k_2^2 -4k_2^2)a^2 + (4k_1k_2 - 4k_1k_2)a + 4k_0k_2 - k_1^2 - 1&= 0 \\ \implies k_2 &= \frac{k_1^2+1}{4k_0} \end{aligned}$$Der Koeffizientenvergleich führt dann zum Wert von $k_2$. $k_0$ und $k_1$ sind frei wählbar, mit der Einschränkung $k_0 \ne 0$. Die Lösung ist demnach$$x(a)= k_0 + k_1a + \frac{k_1^2+1}{4k_0}a^2 \quad\quad k_0 \ne 0 \implies x(0) \ne 0$$Bem.: Koeffizienten von Potenzen mit $3$ und höher werden alle zu $0$, prüfe es selber mal nach...

Gruß Werner