Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

Question

Aufgabe:

Die Punkte A (1|1|-2), B (3|0|0), C (-2|3|-3) und D (0|3|3) liegen in der Ebene E: 3x1 + 4x2 - x3 =9. Bestimmen Sie unter den Punkten A, B, C und D denjenigen Punkt, der vom Punkt P (1|7|-4) die kleinste Entfernung hat

-> Hier habe ich den Punkt C mit $\sqrt{26}$ als kleinste Entfernung

nur bei b) komme ich nicht weiter:

b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

-> Wie findet man das heraus?

Answer 1

Hallo,

b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?
-> Wie findet man das heraus?

Um diese Frage zu beantworten, ist es nicht nötig den Punkt in $E$ zu finden, der den kleinsten Abstand zu $P$ hat. Man muss die Frage ja nur mit Ja oder Nein beantworten, und dies begründen.

Es reicht aus, den Vektor $\overrightarrow{CP}$ zu berechnen:$$\overrightarrow{CP} = \begin{pmatrix}1\\ 7\\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 4\\ -1\end{pmatrix}$$wenn dieser eine Linearkombination zum Normalenvektor $\vec{n}$ von $E$ ist, dann steht $\overrightarrow{CP}$ senkrecht auf $E$ und $C$ ist der am nächst liegende Punkt. Es ist:$$E: \quad 3x_1 + 4x_2 - x_3 =9 \implies \begin{pmatrix}3\\ 4\\ -1\end{pmatrix}\vec{x} = 9$$Die Vektoren $\vec{n}$ und $\overrightarrow{CP}$ sind sogar identisch, also ist $C$ der $P$ am nächsten liegende Punkt.

(klick auf das Bild)

$\overrightarrow{CP}$ steht senkrecht auf $E$.

Gruß Werner

Answer 2

Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

Nein.

Comments

Ich verstehe den Rechenweg nicht ganz, woran siehst du das jetzt?...

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Ausgerechnet werden bei meinem Lösungsweg die Koordinaten desjenigen Punktes in der Ebene, der den minimalen Abstand zu P hat.

Es sind die Koordinaten von C.

Also gibt es keinen anderen Punkt in E, der noch näher an P ist.