Begründen Sie, dass man den Abstand von R zu E mit einer Formel berechnen kann

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E: $\vec{x}$ = $\vec{p}$ +s · $\vec{u}$ + t · $\vec{v}$  und ein Punkt R mit dem Ortsvektor $\vec{r}$ . Begründen Sie, dass man den Abstand von R zu E mit der Formel d(R;E) = $\frac{| (\vec{r}- \vec{p}) · ( \vec{u} × \vec{v}) | }{ | \vec{u} × \vec{v} | }$   berechnen kann

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das beweisen/begründen?..

Answer 1

Hallo

ist dir klar, dass $\vec{u} \times \vec{v}$ ein Normalenvektor der Ebene ist, durch den Betrag dann der Einheitsnormalen Vektor  n ist, der wird mit dem Differenzvektor skalar multipliziert, damit hat man die Komponente von r-p in Richtung n, also den Abstand?

Gruß lul

Answer 2

Du kennst die Bedeutung des Skalarproduktes?

$$\frac{|\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$$
ist die Länge des Vektors a in Richtung des Vektors b.

Comments

Ja, aber warum kommt dann das Kreuzprodukt in diese Formel...

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Wurde jetzt bereits beantwortet.

Answer 3

Die Vektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$  und $\vec{r} -\vec{p}$ spannen einen Spat auf. Im Term $\frac{| (\vec{r}- \vec{p}) · ( \vec{u} × \vec{v}) | }{ | \vec{u} × \vec{v} | }$  wird das Volumen dieses Spats durch sein Grundfläche geteilt. Dadurch erhält man die Höhe des Spats (also den Abstand von R zur Grundfläche).