Bestimme einer Abbildungsmatrix von einer Basistransformation

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

ich verstehe die Aufgabe nicht ganz im Bezug auf a) ist dies einfach eine Matrixmultiplikation der gegebenen Matrizen oder msus ich nochmal einen Basistransformation durchführen?

Ich verstehe einfach nicht genau was ich tun muss.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Bei der Matrix-Multiplikation bzw. Hintereinanderausführung der Funktionen $f$ und $g$ muss die Ergebnis-Basis der rechten Matrix mit der Eingangs-Basis der linken Matrix übereinstimmen:$$M^{\color{blue}A}_{\color{blue}B}(f\circ g)=M_{\color{blue}B}^\pink{A}(f)\cdot\mathbf{id}^{\green B}_\pink{A}\cdot M^{\color{blue}A}_{\green B}(g)$$

Du brauchst also die Transformationsmatrix $\mathbf{id}^{\green B}_\pink{A}$ von der Basis $B$ zur Basis $A$.

Die Basisvektoren von $A$ und $B$ sind jeweils bezüglich der kanonischen Standardbasis $E$ angegeben, denn zum Zeitpunkt ihrer Definition ist keine andere Basis definiert. Wir kennen daher die Transformationsmatrizen:$$\mathbf{id}_E^A=\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 3\\1 & 2 & 2\\-2 & 1 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \mathbf{id}_E^B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 0\\1 & 0 & 3\\3 & -1 & 1\end{array}\right)$$

Damit wissen wir auch, wie man von $B$ nach $A$ transformiert:$$\mathbf{id}^{\green B}_\pink{A}=\mathbf{id}_{\pink A}^E\cdot\mathbf{id}_E^{\green B}=\left(\mathbf{id}_E^{\pink A}\right)^{-1}\cdot\mathbf{id}_E^{\green B}$$

Die Freude am Ausrechnen der Matrix-Multiplikationen möchte ich dir nicht nehmen... ;)

zu b) Die Standardbasis $\varepsilon$ haben wir oben $E$ genannt. Du musst den Vektor $\vec v$ zunächst in die Basis $A$ transformieren, dann durch die Abbildungsmatrix aus Teil (a) schicken und das Ergebnis wieder in die Basis $E$ zurücktransformieren:

$$M_E^E(f)\cdot\vec v_E=\mathbf{id}_E^B\cdot M_B^A(f\circ g)\cdot\mathbf{id}_A^E\cdot\vec v_E=\mathbf{id}_E^B\cdot M_B^A(f\circ g)\cdot\left(\mathbf{id}_E^A\right)^{-1}\cdot\vec v_E$$

Alle Matritzen hast du in Teil (a) bereits bestimmt.

Auch hier möchte ich deine Freude beim Ausrechnen nicht trüben ;)

Comments

danke dir sehr für deine Hilfe! Das Rechnen übernehem ich sehr gerne selber :D

eine Frage hab ich jedoch:

wieso erhalte ich aus A die Matrix $$id^{E}_{A} \text{ und nicht } id^{A}_{E}$$

wie bei der Matrix B

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Ich hatte mich vertan... hab's korrigiert.

Aber deine Frage zeigt mir, dass du das Prinzip verstanden hast ;)

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haha, ich glaube ich komme langsam dahinter. (:

Bei der Aufgabe b) muss ich da überhaupt was an v ändern, wenn es mit der standardbasis angegebn ist dann bleibt es doch eigentlich gleich und ich muss nur das Ergebnis von a) mit den erestlichen matrizen und mit v multiplizieren, oder habe ich das was übersprungen.

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$v$ ist in der Standardbasis $E$ gegeben, also ist $\vec v=\vec v_E$.

Die Abbildungsmatrix $M^A_B(f\circ g)$, die in Teil (a) bestimmt wurde, erwartet jedoch als Eingangsgrößen Vektoren mit Komponenten bezüglich der Basis $A$.

Daher musst du den Vektor $\vec v$ bzw. $\vec v_E$ zuerst in die Basis $A$ transformieren, bevor die Abbildungsmatrix darauf wirken kann.

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ah Ok. Also rechne ich erstmal um v in A darzustellen:

$$v_A = A^{-1} \cdot v_e$$

Aber lautet die Formel oben dann nicht am ende:

$$M^{E}_{E}(f) \cdot \vec{v}_e = ... = ... \cdot \vec{v}_A$$

Vielen Dank, dass du noch auf meine Kommentare antwortest! Du bist mir wirklich eine GROSSE Hilfe! (:

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Ja genau, am Ende steht ja auch $\vec v_A$, aber in Form der Bauanleitung:$$\vec v_A=\mathbf{id}_A^E\cdot\vec v_E=\left(\mathbf{id}_E^A\right)^{-1}\cdot\vec v_E$$

In der Formel aus meiner Antwort sieht das so aus:$$\small M_E^E(f)\cdot\vec v_E=\mathbf{id}_E^B\cdot M_B^A(f\circ g)\cdot\underbrace{\mathbf{id}_A^E\cdot\vec v_E}_{=\vec v_A}=\mathbf{id}_E^B\cdot M_B^A(f\circ g)\cdot\underbrace{\left(\mathbf{id}_E^A\right)^{-1}\cdot\vec v_E}_{=\vec v_A}$$

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jetzt hab ich keine Knoten mehr!

danke die sehr!