Ist Funktion injektiv? (mittels Umwandlung in Matrix?)

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie ob g injektiv ist.

g(x) = (5*x2 - 2*x3  , 4*x1 + x2 + x3  , -4*x1 - 4*x2 + 5*x3)

(Das in der Zeile darüber soll ein Vektor sein bzw. ein Element des R^3..)

Problem/Ansatz:

Kann ich diese Funktion in eine Matrix mit Matrixabbildung umwandeln, und von dieser Matrix dann den Kern bestimmen und daraus folgern ob die Funktion injektiv ist oder nicht?

Also aus der obigen Funktion folgende Matrix abgeleitet:

0 5 -2
4 1 1
-4 -4 5

Geht das?

Comments

Ja, das kannst Do so machen

Answer 1

Rechne nach ob

        \(\begin{pmatrix}0&5&2\\4&1&1\\-4&-4&-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5x_2-2x_3\\4x_1+x_2+x_3\\-4x_1-4x_2+5x_3\end{pmatrix}\)

für jedes \(\left(\begin{smallmatrix}\end{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\right)\in\mathbb{R}^3\) ist.

Falls ja, dann darfst du den Funktionterm von \(g\) zu

        \(\begin{pmatrix}0&5&2\\4&1&1\\-4&-4&-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)

umformen.