0 Daumen
100 Aufrufe

Für die Produktion eines Erzeugnisses sei bekannt, dass sich die Gesamtkosten y in Abhängigkeit von der Anzahl x der produzierten Mengeneinheiten des Erzeugnisses gemäß

y = 10^-4 ( ( 1/3*x^4)  - 170*x^3 + 24000*x^2 + 64000*x)

 

a) Ermitteln Sie die Kosten pro Stück für x = 10, 20 und 30!

--> setze ich hier die jeweiligen Werte einfach für x ein und berechne es dann?

 

b) Bestimmen Sie für die Stückkostenfunktion die lokalen Minimalstellen!

 

--> Was ist die Stückkostenfunktion? Wie bestimme ich sie? 

von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

a )

--> setze ich hier die jeweiligen Werte einfach für x ein und berechne es dann?

Ja, genau so musst du es machen.

 

b )

--> Was ist die Stückkostenfunktion? Wie bestimme ich sie?

Die Stückkostenfunktion beschreibt die Kosten pro Stück. Wenn also für x Stück die Gesamtkostenfunktion y ( x ) ist, dann ist die Stückkostenfunktion s ( x ) einfach:

s ( x ) = y ( x ) / x

In der Aufgabenstellung ist y ( x ) gegeben, also ist s ( x ) :

s ( x ) = y ( x ) / x

= 10 - 4 * ( ( 1 / 3 ) * x4  - 170 * x 3 + 24000 * x 2 + 64000 * x ) / x

= 10 - 4 * ( ( 1 / 3 ) * x3  - 170 * x 2 + 24000 * x + 64000 )

Minimalstellen dieser Funktion sind diejenigen Stellen xi, für die gilt:

s ' ( xi ) = 0

und

s ' ' ( xi ) > 0

Es ist:

s ' ( x ) =  10 - 4 * ( x 2 - 340 * x + 24000 )

und

s ' ' ( x ) = 10 - 4 * ( 2 x - 340 )

 

s ' ( x ) = 0

<=> 10 - 4 * ( x 2 - 340 * x + 24000 ) = 0

<=> x 2 - 340 * x + 24000 = 0

<=> x 2 - 340 * x  + 170 2 = 170 2 - 24000 = 4900

<=> ( x - 170 ) 2 = 4900

<=> x - 170 = ± 70

<=> x = 170 ± 70

=>

x1 = 100

x2 = 240

Nur an diesen Stellen können lokale Minima von s ( x ) vorliegen.

 

Prüfung mit s ' ' ( x ) an diesen Stellen:

s ' ' ( x1 ) = s ' ' ( 100 ) = 10 - 4 * ( 2 * 100 - 340 ) < 0

=> Bei x1 = 100 liegt kein Minimum von s ( x ) vor (sondern ein Maximum)

s ' ' ( x2 ) = s ' ' ( 240 ) = 10 - 4 * ( 2 * 240 - 340 ) > 0

=> Bei x2 = 240 liegt ein Minimum von s ( x ) vor.

Hier ein Schaubild der Gesamtkostenfunktion y ( x ) in blau und der Stückkostenfunktion s ( x ) in violett, wobei ich y ( x ) durch Veränderung des Exponenten des einleitenden Faktors ein wenig herunterskaliert habe, da diese ohne diese Maßnahme gegenüber der Stückkostenfunktion s ( x ) so groß ausfiele, dass letztere nahezu mit der x-Achse verschmelzen würde:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=10^%28-5.8%29*%28+%281%2F3%29*x^4+-170*x^3%2B24000*x^2%2B64000*x%29%2C+10^%28-4%29*%28+%281%2F3%29*x^3+-170*x^2%2B24000*x%2B64000%29+from+0+to+350

Man kann das Maximum (bei x = 100) und das Minimum (bei x = 240) von s ( x ) recht gut erkennen.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
1 Antwort
0 Daumen
2 Antworten
0 Daumen
1 Antwort

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...