Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (Steckbriefaufgabe)

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Ganzrationalen Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Er
schneidet die x-Achse bei \(x=2\) und hat in ein lokales Maximum bei \((1|\,2)\).
a) Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

1. Schritt: Symmetrie

f(x)= a\( x^{5} \) + b\( x^{4} \) + c\( x^{3} \) + d\( x^{2} \) + ex + f

punktsymmetrisch: f(x)= a\( x^{5} \)+ d\( x^{2} \) + ex

2. Schritt: Ableitungen bilden

f(x)= 5ax^4+ 3bx^2+ e

f"(x)= 20ax^3 + 6cx

3. Schritt: Bedingungen aufstellen

1. f(2)= 0

2. f(1)= 2

3. f(x)= 0

4. Schritt: LGS aufstellen

1: 32a + 8c + 2e = 0

2: a + c + e = 2

3: 5a + 3c + e = 0

4: b= 0

5: d= 0

6: f=0

5.Schritt: im GTR eingeben und Funktionsgleichung aufstellen

f(x)= \( \frac{1}{9} \)\( x^{5} \) - \( \frac{11}{9} \)\( x^{3} \)  + \( \frac{28}{9} \)x

Ich habe das raus bin mir aber nicht sicher ob es stimmt!!

Comments

Er schneidet die x-Achse bei

Bei was? Offenbar bei x= 2

hat in ein lokales Maximum.

Wo?

Wie kommst du auf f(1) = 2 ??

f(x) = 0 macht keinen Sinn.

Wie lautet die Aufgabe wirklich?

Ich sehe kein f '(x)  trotz der Angabe MAXIMUM.

Erstaunlich wie du auf dein Ergebnis kommst.

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srzy, hab vergessen die Punkte einzugeben

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Dann hole es bitte nach.

Answer 1

Halo Samira,

Deine Lösung ist korrekt!

$$f\left(x\right)=\frac{1}{9}\left(x^{5}-11x^{3}+28x\right)$$Falls Du selbst überprüfen möchtest, ob sie stimmt, so lasse Dir die Funktion plotten. Entweder mit Deinem GTR oder hier mit dem Plotlux hier aus der Mathelounge

~plot~ (x^5-11x^3+28x)/9;{1|2};{2|0} ~plot~

oder mit Desmos. Wenn Du dann noch die gegebenen Punkte einzeichenn lässt, so siehst Du dann schon, ob es passt.

Hinweis: wenn man unten rechts im Bild oben auf das Desmos-Symbol klickt, öffnet sich die Desmos Web-Seite.

Gruß Werner

Answer 2

Der Ansatz müsste f(x)= a\( x^{5} \)+ d\( x^{3} \) + ex heißen. Der Aufgabentext ist unvollständig.

Answer 3

Deine Lösung ist völlig richtig. Ich empfehle zur Hilfe und Selbstkontrolle: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0) = 0
f''(0) = 0
f''''(0) = 0 → Die ersten drei Eigenschaften gibt man so für die Punktsymmetrie ein

f(2) = 0
f(1) = 2
f'(1) = 0 → Das sind die drei Bedingungen, die du auch genutzt hast

Gleichungssystem

f = 0
2d = 0
24b = 0 → Auch hier sind die ersten drei Gleichungen für die Punktsymmetrie

32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 0
a + b + c + d + e + f = 2
5a + 4b + 3c + 2d + e = 0 → Hier setzt du zunächst b = d = f = 0 aus der Punktsymmetrie ein und kannst das Gleichungssystem dann lösen.

Errechnete Funktion

f(x) = 1/9·x^5 - 11/9·x^3 + 28/9·x → Die Seite liefert eine automatische Kontroll-Lösung

Answer 4

Der Graph einer Ganzrationalen Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Er schneidet die x-Achse bei \(x=2\) und hat in ein lokales Maximum bei \((1|2)\).

a) Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung.

..Er schneidet die x-Achse bei \(x=2\) Somit wegen der Punktsymmetrie auch bei \(x=-2\)

Nullstellenform:

\( f(x)=a(x-2)x(x+2)(x-N)(x+N)=a(x^3-4x)(x^2-N^2) \)

... hat in ein lokales Maximum bei \((1|...)\) 1.Ableitung Steigung muss 0 sein:

\( f'(x)=a[(3x^2-4)(x^2-N^2)+(x^3-4x)2x] \)

\( f'(1)=a[(3-4)(1-N^2)+(1-4)2]=0 \)

\(N^2=7\).

\( f(x)=a(x^3-4x)(x^2-7) \)

...und hat in ein lokales Maximum bei \((1|2)\):

\( f(1)=a(1-4)(1-7)=2 \).

\( a=\frac{1}{9} \)

\( f(x)=\frac{1}{9}(x^3-4x)(x^2-7) \)

Comments

Weißt Du schon vorab, dass es außer -2,0,2 noch 2 weitere Nullstellen -N und N gibt? Wenn ja, woher?

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Auf diese generelle Schwäche im Vorgehen wurde schon mehrmals hingewiesen. Ohne Erfolg.

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Es muss noch 2 weitere Nullstellen geben, die symmetrisch zum Ursprung liegen, da es sonst keine Funktion mit Grad 5 ist.

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Wenn es nun

$$f(x)=x(x^2-4)(x^2+1)$$

Wäre?

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In der Berechnung müssten dann doch noch imaginäre Nullstellen auftauchen . Ich denke in der ganzen Berechnung an N^2=-1, welches dann eingesetzt werden kann.

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Das ist für mich eine mathematisch didaktisch unzulängliche Ausflucht.

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Wie ist dann nun eine mathematisch didaktisch zulängliche Antwort?

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Dieser Dialog wurde schon mehrmals genauso geführt.

Wie ist dann nun eine mathematisch didaktisch zulängliche Antwort?

Das solltest Du Dir überlegen bevor Du antwortest. Nicht immer wieder halbgare Antworten geben und dann andere Helfer fragen.

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Jede punktsymmetrische Funktion 5. Grades mit den Nullstellen bei 0, 2 und -2 lässt sich schreiben als

f(x) = a·x·(x + 2)·(x - 2)·(x^2 + k)

Dabei kann x^2 + k weitere Nullstellen (in ℝ) beitragen (k ≤ 0), das muss aber nicht so sein (k > 0).