Bestimmen sie a und b bei 2 fehlenden Variablen

Question

Aufgabe:

Die Konzentration eines Medikaments im Blut kann durch eine Funktion der Form f: t -> a*t*e^(-b*t)+c beschrieben werden. Dabei wird t in Stunden nach der Einnahme gemessen, die Konzentration in mg/l.

Bei einem Versuch wird die höchste Konzentration mit 15 mg/l nach 5 Stunden gemessen. Bestimmen sie a und b.

Problem/Ansatz:

Ich weiß bereits das man den Term ableiten muss, was f´= a*e^(-b*t)(1-b*t) ergibt. Danach wird für t, 5 eingesetzt und der Term gleich null gesetzt. Das nach b aufgelöst ergibt 0,2. Allerdings fehlt mir bei diesem Schritt der Rechenweg da ja 2 Variablen gegeben sind?

f´(5) = 0 -> a*e^(-5*b)(1-5*b) = 0

....???

b = 1/5 = 0,2

Schonmal vielen Dank für Antworten :)

Answer 1

Die Konzentration eines Medikaments im Blut kann durch eine Funktion der Form $f(t)= a*t*e^{-b*t}+c$ beschrieben werden. Dabei wird t in Stunden nach der Einnahme gemessen, die Konzentration in mg/l.

Bei einem Versuch wird die höchste Konzentration mit 15 mg/l nach 5 Stunden gemessen. Bestimmen sie a und b.

$f(t)= a*t*e^{-b*t}+c$

Da die Konzentration des Medikaments im Blut zum Zeitpunkt 0 auch 0 ist gilt $c=0$

$f(t)= a*t*e^{-t*b}$

$f(5)= a*5*e^{-5*b}$

$a*5*e^{-5*b}=15$

1.)

$a*e^{-5*b}=3$

$f´(t)= a*e^{-t*b}+a*t*e^{-t*b}*b$

$f´(5)= a*e^{-5*b}+a*5*e^{-5*b}*b$

2.)

$a*e^{-5*b}+5a*b*e^{-5*b}=0$

$3+15b=0$

$b=\frac{1}{5}$

$a*e^{-5*\frac{1}{5}}=3$

$a*e^{-1}=3$

$a=3e$

$f(t)= 3e*t*e^{-\frac{1}{5}*t}$

Comments

Tipp: * ist nicht das Multiplikationszeichen, sondern \cdot

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Danke! Werde ich in Zukunft verwenden.

Answer 2

Damit das Maximum von f(t)=a*t*e^(-b*t)+c erreicht wird, muss f '(t)=0 sein.

f '(t)= t·e^-bt wird aber nie Null.

Comments

Deine Ableitung stimmt nicht.

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Das ist wahr, ich habe dummerweise nach a abgeleitet.

Answer 3

Das a erhältst du über die noch nicht verwendete Angabe f(5)=15, wobei ich aus den Angaben auch noch f(0)=0 schließe, also c=0, da zu Anfang ja kein Medikament im Blut ist.

Answer 4

f(0) = 0 -> c= 0

f(5) = 15

f '(5) = 0

Answer 5

f(t) = a·t·e^(- b·t) + c

f'(t) = a·e^(- b·t)·(1 - b·t)

Bei einem Versuch wird die höchste Konzentration mit 15 mg/l nach 5 Stunden gemessen. Bestimmen sie a und b.

Es muss also gelten

f(0) = a·0·e^(- b·0) + c = 0 → c = 0 (Vermutlich in einer vorigen Aufgabe schon festgestellt)

f'(5) = a·e^(- b·5)·(1 - b·5) = 0 --> b = 0.2

f(5) = a·5·e^(- 0.2·5) + 0 = 15 --> a = 3·e