Aloha :)
Wir tun erstmal so, als wäre die obere Grenze der Summe nicht \(\infty\), sondern \(n\). Wir werden dieses \(n\) später gegen \(\infty\) laufen lassen, um den Wert der gesuchten Summe zu bestimmen.
Wir betrachten also die folgende Summe:$$S_n=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^{i-1}$$
Für \(i=1\) wird der Exponent \((i-1)\) zu \(0\), für \(i=2\) wird er zu \(1\), für \(i=3\) wird er zu \(2\)... Wir können daher die Summe bei \(i=0\) beginnen lassen und dafür \((i-1)\) im Exponenten durch \(i\) ersetzen:$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i$$
Nun überlegen wir uns, was passiert, wenn wir von dieser Summe \(S_n\) ein Zehntel ihres Wertes subtrahieren. Diese Idee scheint zunächst schwachsinnig, aber du wirst gleich sehen, was dabei passiert:
$$S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\frac{1}{10}\cdot\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^{i+1}}$$
Nun machen wir bei der roten Summe eine ähnliche Indexverschiebung wie oben und lassen die Summe bei \(i=1\) anstatt bei \(i=0\) beginnen und den Exponenten \((i+1)\) ersetzen wir durch \(i\):
$$S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}=\sum\limits_{i=0}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i-\red{\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left(\frac{1}{10}\right)^i}$$$$\phantom{S_n-\red{\frac{1}{10}\cdot S_n}}=\left(\left(\frac{1}{10}\right)^0+\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i\right)-\red{\left(\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i+\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\right)}$$
Jetzt erkennst du, dass die bleiben verbliebenen Summen gleich sind und sich gegenseitig wegheben, übrig bleibt:$$S_n-\frac{1}{10}\cdot S_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}$$
Wenn wir links \(S_n\) ausklammern, haben wir eine einfache Formel für \(S_n\) gefunden:$$S_n\left(1-\frac{1}{10}\right)=1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}$$$$S_n=\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}}$$
Wenn wir nun \(n\to\infty\) gehen lassen, wird im Zähler \(\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}\) zu Null, übrig bleibt:$$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}$$
Die Formel, die wir uns oben für die Summe über \(\frac{1}{10}\) überlegt haben, gilt übrigens für jeden Wert \(q\ne1\). Sie ist so wichtig, dass sie einen eingen Namen hat, nämlich "geometrische Reihe".$$S_n=\sum\limits_{i=0}^n q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{für }q\ne1$$
Für \(|q|<1\) konvergiert die geometrische Reihe gegen \(\frac{1}{1-q}\).
