Fourier Koeffizienten einer periodischen Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die 2π periodische Funktion f mit

$f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 1 & \text { für } t \in[0, \pi), \\ 0 & \text { für } t \in[\pi, 2 \pi) . \end{array}\right.$

Problem/Ansatz:

Berechnung des Fourier-Koeffizienten $c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t$ für $k \in \mathbb{Z}$.

Answer 1

Teile das Integral auf: $\int\limits_0^{2\pi}=\int\limits_0^\pi + \int\limits_\pi^{2\pi}$.

Das zweite Integral wird 0, da $f$ auf $[\pi,2\pi]$ 0 ist.

Also bleibt: $c_k=\frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi 1\cdot e^{-{\rm i}kt}\, dt$, was Du sicherlich selbst ausrechnen kannst.