Aufgabe:
Sind die folgenden Abbildungen \( \mu: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow[0, \infty] \) äußere Maße?
a) \( \mu(A):=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { falls } A=\emptyset \text { oder } A \text { beschränkt ist } \\ 1 & \text { sonst; }\end{array}\right. \)
b) \( \mu(A):=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { falls } A \subseteq(0,1) \\ \infty & \text { sonst; }\end{array}\right. \)
Ansatz:
So richtig habe ich das Prinzip hinter dieser Aufgabe noch nicht verstanden!? Grundsätzlich müsste man doch folgendes zeigen:
• μ(∅) = 0 → das ist ja trivial
• Monotonie
• Subadditivität
Zu a) hätte ich mir daher folgendes gedacht:
μ(A) ≥ 0 und μ(∅) = 0
Für die Monotonie gibt es folgende zwei Fälle:
1: A abzählbar, d.h. \( \mu(A)=0 \leq \mu(B) \) für alle \( B \), insbesondere also für \( B \supseteq A \)
2: \( A \) überabzählbar, d.h. \( B \) überabzählbar und damit \( \mu(A)=1 \leq 1=\mu(B) \)
Subadditivität:
Sei \( A_{1}, A_{2} \) eine Folge in \( \mathcal{P}(\mathbb{R}) \) :
1. Fall:
\( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \quad \mathrm{abz} . \Rightarrow \mu_{1}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\right)=0 \leq \sum \limits_{i=1}^{\infty} \mu_{1}\left(A_{i}\right)=0 \)
2. Fall:
A überabz., d.h. existiert mind. 1 Element der Folgenglieder \( A_{i} \) mit \( \mu_{1}\left(A_{i}\right)=1 \).
\( \mu_{1}\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}}^{\infty} A_{i}\right)=1=\mu\left(A_{i}\right) \leq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \mu\left(A_{k}\right) \)
Problem:
Reicht meine Begründung so aus, falls sie überhaupt richtig ist!?
Zu b) nehme ich an, dass die Abbildung kein Maß ist, weil ja \( \mu((0,1 / 2] \cup(1 / 2,1))>\mu((0,1 / 2])+\mu((1 / 2,1)) \).
Wie könnte man b) dann konkret zeigen?
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
