Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f .

Question

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Sei $f(x):=\frac{a x+b}{c x+d}$, mit $a \neq 0, c \neq 0$ und $a d-b c \neq 0$. Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von $f$. Ist $f$ dort injektiv und/oder surjektiv?

Bitte um Hilfe bei dieser Aufgabe.
Theoretisch ist dabei ja nur wichtig das der Nenner nicht 0 wird. Also muss cx > d oder cx < d sein oder?

Danke für die Hilfe.

Lg

Answer 1

Aloha :)

Wegen $(a,c\ne0)$ können wir den Funktionsterm wie folgt umformen:$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a\left(x+\frac ba\right)}{c\left(x+\frac dc\right)}=\frac ac\cdot\frac{x+\frac ba}{x+\frac dc}=\frac ac\cdot\frac{\left(x\pink{+\frac dc}\right)+\frac ba\pink{-\frac dc}}{x+\frac dc}$$$$\phantom{f(x)}=\frac ac\left(1+\frac{\frac ba-\frac dc}{x+\frac dc}\right)=\frac ac\left(1+\frac{\frac{bc-ad}{ac}}{x+\frac dc}\right)\color{blue}=\frac ac\left(1-\frac{ad-bc}{ac\,x+ad}\right)$$Wegen $(ad-bc\ne0)$ ist der Zähler von Null verschieden, sodass $f(x)\ne\frac ac$ gilt.

zu 1) Definitionsbereich

Kritsich ist hier eine mögliche Division durch Null. Wir müssen also den Fall $(xc+d=0)$ oder umgeformt den Fall $(x=-\frac dc)$ ausschließen:$$D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac dc\right\}$$

zu 2) Injektivität

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, ein Funktionswert wird zwei Mal getroffen und zeigen, dass dies nur dann der Fall ist, wenn die Argumente der Funktion gleich sind.

$$f(x)=f(y)\implies\frac ac\left(1-\frac{ad-bc}{ac\,x+ad}\right)=\frac ac\left(1-\frac{ad-bc}{ac\,y+ad}\right)$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\stackrel{\cdot\frac ca}{\implies}1-\frac{ad-bc}{ac\,x+ad}=1-\frac{ad-bc}{ac\,y+ad}$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\stackrel{-1}{\implies}-\frac{ad-bc}{ac\,x+ad}=-\frac{ad-bc}{ac\,y+ad}\stackrel{\cdot(-1)}{\implies}\frac{ad-bc}{ac\,x+ad}=\frac{ad-bc}{ac\,y+ad}$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\!\!\!\!\stackrel{\text{(Kehrwerte)}}{\implies}\frac{ac\,x+ad}{ad-bc}=\frac{ac\,y+ad}{ad-bc}\stackrel{\cdot(ad-bc)}{\implies}ac\,x+ad=ac\,y+ad$$$$\phantom{f(x)=f(y)}\stackrel{-ad}{\implies}ac\,x=ac\,y\stackrel{\div(ac)}{\implies}x=y$$

Die Funktion ist also injektiv$\quad\checkmark$

zu 3) Surjektivität

Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird. Da hier keine Zielmenge angegeben ist, können wir über die Surjektivität keine gesicherte Aussage treffen.

Gehen wir davon aus, dass ganz $\mathbb R$ als Zielmenge gemeint ist, wäre die Funktion nicht surjektiv, denn wir haben ja oben bereits festgestellt, dass $f(x)\ne\frac ac$ ist.

Comments

Wow. Das ist sehr ausführlich. Vielen Dank.
Ist alles verständlich. Nur würde ich nicht darauf kommen den Funktionsterm so umzuformen o.O

Answer 2

Es muss gelten:

cx+d ≠0

x ≠ -d/c

ad≠bc

a≠ (bc)/d

d≠ (bc)/a

b≠ (ad)/c

c ≠ (ad)b

D= R\{0,(bc)/d, (bc)/a,(ad)/c,(ad)b }

Comments

Also reicht R / {-d/c} nicht wie beim unteren Kommentar?
Warum darf a nicht (bc)/d werden

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@ggT:

In der Einschränkung des Definitionsbereiches sollten x-Werte stehen, für die die Funktion f nicht definiert ist.

x darf durchaus 0 sein.

x darf auch (spezielle Konstellationen ausgenommen) (bc)/d sein

usw.

Answer 3

Theoretisch ist dabei ja nur wichtig das der Nenner nicht 0 wird. Also muss cx > d oder cx < d sein oder?

Ja, und wegen $c \ne 0$ wird der Nenner genau für $x=-\frac{d}{c}$ null, sodass $$D_{\textrm{max}}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}$$ sein muss.

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Bez. Injektivität und Surjektivität.
Injektivität kann ich das einfach beweisen indem ich folgendes zeige?

Wenn f(x) = f(y) dann ist x = y. Also (ax+b)/(cx+d) = (ay+b)/(cy+d) .

Wie gehe ich bez. Surjektivität vor?

Bzw. habe ich mit 0 ein Gegenbeispiel ? 0 wird ja in der Wertemenge eigl. nie getroffen für R/ {-(d/c} → R

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0 wird sehr wohl angenommen, und zwar für x=-b/a.

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Stimmt. Hätte einfach den Zähler umformen müssen ^^.

Ist mein Beweis bez. Injektivität richtig? Wie kann ich die Surjektivität beweisen bzw. widerlegen?

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Hinweis: Die Funktion besitzt die waagerechte Asymptote y=a/c. Dieser Wert wird nicht angenommen.

Würde man auf $a d-b c \neq 0$ verzichten, wäre im Fall $a d-b c =0$ die Funktion konstant f(x)=a/c.

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Mein Beweis zur Injektivität stimmt also?

Zwecks Surjektivität verstehe ich noch nicht ganz y=a/c .

Das eine Lineare Funktion rauskommt wenn die Einschränknung ad-bc ungleich 0 wegfällt verstehe ich.

Also wird genau der Wert den ich bekomme bei ad-bc=0 nicht in der Wertemenge getroffen?

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Versuche doch mal, die Gleichung $\frac{a x+b}{c x+d} =\frac{a}{c}$ zu lösen, ohne gegen die vorgegebenen Beschränkungen der Parameter zu verstoßen.

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Ich kann diese Gleichung nicht lösen ohne gegen die ad-bc ungleich 0 Voraussetzung zu verletzen.

Also habe ich mit a/c einen Wert den ich nie erreichen kann. Alles klar. Besten Dank.

Mein Beweis zur Injektivität (weiter oben) stimmt?

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Darf ich auch noch fragen wie du auf den Wert a/c gekommen bist? . Einfach Erfahrung oder hast du eine Methode?