Wie groß ist die Chance, dass der Münzsammler nun alle Münzen verkaufen kann?

Question

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Übung 6 Antike Münzen
Ein Numismatiker hat 10 seiner wertvollsten Münzen einzeln bei einer Versteigerung angeboten. Er bekommt in verschlossenen Umschlägen 15 Angebote für jeweils eine Münze. Diese Angebote beziehen sich teilweise auf die gleiche Münze. Wie groß ist die Chance, dass der Münzsammler nun alle Münzen verkaufen kann?

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht wie ich voran komme

Answer 1

Die 15 Angebote dürfen sich nicht auf weniger als 10 Münzen beziehen, also dürfen sie nicht unter \( \sum\limits_{n=1}^{9}{\begin{pmatrix} 15\\k \end{pmatrix}} \) Fällen unter allen möglichen Fällen sein.

Comments

Du scheinst die Fälle als Teilmengen abzuzählen. Diese sind aber nicht gleich-wahrscheinlich.

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15 Angebote für jeweils eine Münze. Diese Angebote beziehen sich teilweise auf die gleiche Münze.

Wie ist das genau zu verstehen?

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Wie ist das genau zu verstehen?

Siehe hier

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Ich verstehe die Aufgabe so: Es werden unabhängig 15 Angebote der Form: Münze x, Preis y gemacht. Es ist möglich, dass zu einer oder einigen Münzen mehrere Angebote abgegeben werden.

Sinnvoll ist es natürlich nur, wenn es um Angebote von 15 verschiedenen Personen geht.

Answer 2

Hallo,

ich sehe das so: Wir legen alle Angebote in einer Reihe, nummerieren sie durch und erhalten so eine Funktion \(f:\{1,2,\ldots,15\} \to \{1,2,\ldots,10\} \) mit dem Sachzusammenhang:\(f(i)=k\) genau dann, wenn sich Angebote Nummer i auf Münze Nummer k bezieht. Möglich und gleichwahrscheinlich sind alle derartigen Funktion, davon gibt es \(10^{15}\). Günstige Ereignisse sind alle surjektiven Funktionen \(f:\{1,2,\ldots,15\} \to \{1,2,\ldots,10\} \). Diese kann man mit Hilfe der Stirling-Zahlen 2ter Art abzählen und erhält die Wkt:

$$\frac{10!S(15,10)}{10^{15}}=0.046$$