komplexe Eigenwerte einer schiefsymmetrischen Matrix berechnen?

Question

Hey,

könntet ihr mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme leider gar nicht weiter und weiß nicht, wie ich auf die trigonometrischen Funktionen kommen soll.... Könntet ihr mir vielleicht bitte helfen. Ich weiß nur, dass eine schiefsymmetrische Matrix generell imaginäre Eigenwerte haben muss.

Sei
\( A=-\frac{1}{a}\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & -1 \\ -1 & 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 0 & 1 \\ 1 & & & -1 & 0 \end{array}\right) \)
dann sind die Eigenwerte von \( A \) gegeben durch
\( \lambda_{p}=-2i\sin (2 \pi n a), \quad n=1, \ldots, m+1 \)

LG

Comments

Was ist das n und das m?

Grandsätzlich Matrix bauen und nachrechnen?

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Danke für deine Hilfe, das weiß ich leider auch nicht:(

Was meinst du mit bauen? Meinst du damit, dass ich die Matrix in kleinere Blöcke zerlegen soll?

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Hallo

irgendwas an deiner Formel ist falsch. für a=1 wären ja alle Eigenwerte 0, dasselbe für a=1/2.

du kannst ja erstmal für n=2 und 3 nachrechnen.ll

Answer 1

bauen == einige konkrete Fälle untersuchen

Bist Du sicher, das Du das λ_p korrekt wiedergegeben hast? Da muss ja zumindest ein EW=0 dabei sein.

https://www.geogebra.org/cas?command=n=5;A=-1/a%20Sequence(Sequence(-(j%E2%89%9Fk-1)%2B(j%E2%89%9Fk%2B1)%2B(k%E2%89%9Fn%20%E2%88%A7%20j%E2%89%9F1)-(j%E2%89%9Fn%20%E2%88%A7%20k%E2%89%9F1),j,1,n),k,1,n);det=Determinant(A%20-%20%CE%BB%20Identity(n));CSolve(det,%CE%BB)

Comments

Hey, vielen Dank für deine Hilfe. Wieso 0?

Und warum darfst du das ganze auf die kleinere Matrix beschränken?

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Wenn man alle Zeilen aufaddiert erhält man 0 ∀A^nxn ==> det(A)=0,

Ich beschränke gar nix. Welche kleinere Matrix?

Ich gehe davon aus, dass Deine Angabe zu λ_p unvollständig/falsch sind wegen Spur(A)=0 müssen die Eigenwerte ±Paare sein und die 0 kommt einfach und doppelt vor ja nach Grad CharPoly (odd/even). In meinen Beispielen ist n die Dim der Matrix...

n=7, verhindert ein Bug die Berechnung der EW mit allgemeinem Parameter a,