Folgern Sie, dass alle Eigenwerte einer Matrix, deren Spalten orthonormal sind, den Betrag 1 haben.

Question

Aufgabe:

Sei O eine n × n-Matrix, deren Spalten eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardproduktes bilden. Zeigen Sie, dass OOt die Einheitsmatrix ist.

Folgern Sie daraus, dass alle Eigenwerte einer Matrix, deren Spalten orthonormal sind, den Betrag 1 haben.

Comments

Was ist OOt ?

lul

Answer 1

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(O\) und \(v\neq 0\) ein zugehöriger

Eigenvektor. Ferner sei \(\langle .,.\rangle\) das Standardskalarprodukt,

dann gilt:

\(\lambda^2\langle v,v\rangle=\langle \lambda v,\lambda v\rangle=\langle Ov,Ov\rangle\stackrel{(*)}{=}\langle v,O^tOv\rangle=\langle v,v\rangle\),

also \(\lambda=\pm 1\).

\((*)\) gilt, da \(O^t\) und \(O\) adjungiert sind: \(O^{ad}=O^t\).

Answer 2

Hallo

mach das mit ner 2 mal 2 oder 3 mal 3 Matrix, dann siehst du wie es läuft. Was ist denn das Skalarprodukt von 2 orthonormalen Vektoren? Das ist das einzige was du brauchst.

Gruß lul