Berechne die Hesse-Matrix der folgenden Funktion:

Question

Aufgabe:

Berechne die Hesse-Matrix der folgenden Funktion:

(a) \( f(x, y)=e^{x y} \)

(b) \( f(\vec{x})=\vec{x}^{\prime} A \vec{x} \quad \) mit \( \quad \vec{x}^{\prime}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \quad \) und \( \quad A=\left(\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 3 & 5\end{array}\right) \)

(c) \( f(x, y, z)=\frac{z}{x y} \)

(d) \( f(a, b)=a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3}} \)

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bei der Berechnung von b) helfen?

Comments

Leite zunächst durch Ausmultiplizieren der Matrix-Vektor-Produkte eine explizite Darstellung von in Abhängigkeit von _1 und x_2 her.....

Answer 1

Aloha :)

$$f(\vec x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 3\\3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_1+3x_2 & 3x_1+5x_2\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}$$$$\phantom{f(\vec x)}=-x_1^2+3x_1x_2+3x_1x_2+5x_2^2=6x_1x_2-x_1^2+5x_2^2$$

Die Hesse-Matrix enthät alle 2-ten partiellen Ableitungen:$$H_f(\vec x)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 6\\6 & 10\end{pmatrix}$$

Comments

danke! Ich hab a) und d) geschafft, kannst du mir vllt auch mit c) helfen ? :(

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Du kannst die Hesse-Matrix formal so schreiben:$$H_f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{grad}f(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{grad}f(x;y;z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\operatorname{grad}f(x;y;z)\end{pmatrix}$$

Der Gradient von \(f(x;y;z)=\frac{z}{xy}\) lautet:$$\operatorname{grad}f(x;y,z)=\begin{pmatrix}-\frac{z}{x^2y} & -\frac{z}{xy^2} & \frac{1}{xy}\end{pmatrix}$$

Damit lautet die Hesse-Matrix:$$H_f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{2z}{x^3y} & \frac{z}{x^2y^2} & -\frac{1}{x^2y}\\[1ex]\frac{z}{x^2y^2} & \frac{2z}{xy^3} & -\frac{1}{xy^2}\\[1ex]-\frac{1}{x^2y} & -\frac{1}{xy^2} & 0\\\end{pmatrix}$$

Beachte, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist. Du kannst dir damit 3 Ableitungen ersparen.