Aufgabe:
Habe ich richtig gerechnet?
1. Aufgabe:
Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1= 1+6i , z2= −5+5i, z3= 81 - 41i
a) Berechnen Sie z1+z2, z1⋅z2, z1*z1¯ und z2/z1 und stellen Sie das Ergebnis in der Form x+ iy dar (mit x,y∈R ).
z1+z2:
1+6i + (−5) +5i
= -4+11i
Muss man das noch ausführlicher hinscheiben?
z1⋅z2:
(1+6i) * (-5+5i)
= (1*-5)+(1*5i)+(6i-5)-(6i*5i)
= (1*-5)+(1*5i)+(6i-5)-(6*5)
= (1*-5-6*5) + i*(1*5+6*-5)
= -35+35i
z1*z1¯:
(1+6i) * (1-6i)
= 12-(6i)2
= 12-i2*62
= 12-(-1)*62
= 12+62
= IzI2
z2/z1:
(1−6i)(−5+5i) * 1−6i1−6i
= (1−6i)∗(1−6i)(−5+5i)∗(1−6i)
= 12+62−5+5i+30i+(−5)
= 37−10+35i
= - 3710 + 3735 i
b) Welche der komplexen Zahlen z1 und z3 sind Elemente der folgenden Mengen und welche nicht?
M1:={z∈C| Im(z) ≥ Re(z)},
M2:={z∈C| |z| ≤ 1}.
M1:={z∈C| Im(z) ≥ Re(z)}:
Für Z1= 1 + 6i
Re(z)= 1
Im(z)= 6
6 ≥ 1⇒ wahre Aussage
d.h Z1 ∈ M1
Für Z3= 81 - 41 i
Re(z)= 81
Im(z)= - 41
- 41 ≥ 81 ⇒ falsche Aussage
d.h. Z3 ∉ M1.
M2:={z∈C| |z| ≤ 1}:
Für Z1= 1 + 6i
Iz1I=Re(z)2+Im(z)2
Iz1I= 12+62 = 1+36 = 36 ≥ 1 ⇒ falsche Aussage. d.h. Z1 ∉ M2.
Für Z3= 81 - 41 i
Iz3I = (1/8)2+(1/4)2 = (1/64)2+(1/4)2 = 5/64 = ≤ 1 ⇒ falsche Aussage. d.h. Z3 ∉ M2.