Aloha :)
Wir untersuchen die Ungleichung:(x+5)2(x−1)(3−x)≤0;x=−5Damit nicht durcn Null dividiert wrid, muss x=−5 gelten.
Für alle anderen x-Werte ist (x+5)2>0. Daher bleibt das Relationszeichen ≤ erhalten, wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit (x+5)2 multiplizieren:(x−1)(3−x)≤0
Im nächsten Schritt multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit (−1). Dabei ändert sich das Relationszeichen von ≤ zu ≥:−(x−1)(3−x)≥0⟹Um das vordere Minuszeichen loszuwerden, multiplizeren wir den Faktor (3−x) mit (−1), wodurch dieser zu (x−3) wird:(x−1)(x−3)≥0
Nun haben wir ein Produkt aus zwei Zahlen, (x−1) und (x−3). Damit dieses Produkt ≥0 ist, müssen beide Werte ≥0 oder beide Werte ≤0 sein.
1. Fall: Beide Werte sind ≥0(x−1)≥0⟹x≥1(x−3)≥0⟹x≥3Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn x≥3 gilt.
2. Fall: Beide Werte sind ≤0(x−1)≤0⟹x≤1(x−3)≤0⟹x≤3Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn x≤1 gilt.
Zusammengefasst ist die Ungleichung also erfüllt, wenn x≥3 oder x≤1 ist. Beachten wir noch die Einschränkung, dass x=−5 sein muss, heißt das für unsere Lösungmenge:L={x∈R∣∣∣(x≤1∧x=−5)∨x≥3}