0 Daumen
841 Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge für folgende Ungleichung:

((x-1)(3-x))/(x+5)2 =< 0


Problem/Ansatz:

Guten Morgen, ich hänge nun schon mehrere Stunden an Fallunterscheidungen und habe schon probiert durch Photomath,ChatGPT,usw. das vorgehen zu verstehen aber gebracht hat es eher weniger. Wie ich Ungleichungen an sich löse weiß ich, sobald aber Fallunterscheidungen dazu kommen weiß ich irgendwie nicht wann ich sie anwenden muss und vor allem wie ich sie durch führe. Könnte mir jemand das Vorgehen einmal genauer/anschaulicher beschreiben damit ich solche oder ähnliche Fallunterscheidungen in Zukunft problemlos lösen kann ?

Vielen Dank schon einmal im Voraus

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir untersuchen die Ungleichung:(x1)(3x)(x+5)20;x5\frac{(x-1)(3-x)}{(x+5)^2}\le0\quad;\quad x\ne-5Damit nicht durcn Null dividiert wrid, muss x5\,x\ne-5\, gelten.

Für alle anderen xx-Werte ist (x+5)2>0\,(x+5)^2>0\,. Daher bleibt das Relationszeichen \le erhalten, wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit (x+5)2\,(x+5)^2\, multiplizieren:(x1)(3x)0(x-1)(3-x)\le0

Im nächsten Schritt multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit (1)(-1). Dabei ändert sich das Relationszeichen von \le zu \ge:(x1)(3x)0    -(x-1)(3-x)\ge0\quad\impliesUm das vordere Minuszeichen loszuwerden, multiplizeren wir den Faktor (3x)(3-x) mit (1)(-1), wodurch dieser zu (x3)(x-3) wird:(x1)(x3)0(x-1)(x-3)\ge0

Nun haben wir ein Produkt aus zwei Zahlen, (x1)(x-1) und (x3)(x-3). Damit dieses Produkt 0\ge0 ist, müssen beide Werte 0\ge0 oder beide Werte 0\le0 sein.

1. Fall: Beide Werte sind 0\ge0(x1)0    x1(x-1)\ge0\implies x\ge1(x3)0    x3(x-3)\ge0\implies x\ge3Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn x3x\ge3 gilt.

2. Fall: Beide Werte sind 0\le0(x1)0    x1(x-1)\le0\implies x\le1(x3)0    x3(x-3)\le0\implies x\le3Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn x1x\le1 gilt.

Zusammengefasst ist die Ungleichung also erfüllt, wenn x3x\ge3 oder x1x\le1 ist. Beachten wir noch die Einschränkung, dass x5x\ne-5 sein muss, heißt das für unsere Lösungmenge:L={xR(x1x5)x3}\mathbb L=\{x\in\mathbb R\big|\,(x\le1\land x\ne-5)\lor x\ge3\}

Avatar von 153 k 🚀

Vielen Dank für die super Erklärung!

Hab mich bei der Aufgabe vertippt eigentlich wäre es x+1aber habe es trotzdem verstanden. Nur zwei Fragen noch, muss ich das ≤ immer umkehren um damit rechnen zu können?

Und um das vordere minus loszuwerden wird mit -1 multipliziert da:

-1*(x-1)*(3-x)

Warum wird aber (3-x) multipliziert und nicht (x-1) oder ist das egal ?

Du brauchst das \le nicht umzukehren. Dann musst du aber darauf achten, dass ein Produkt 0\le0 ist, wenn ein Faktor 0\ge0 und der andere Faktor 0\le0 ist.

ICh habe das (3x)(3-x) mit (1)(-1) multipliziert, damit das xx vorne steht, damit also (x3)(x-3) dort steht. Ich finde, es ist einfacher zu sehen, wann (x3)0(x-3)\ge0 wird als wenn (3x)0(3-x)\ge0 wird.

Heißt also wenn ich immer ≤ zu ≥ umkehre muss ich da nicht mehr drauf achten ?

0 Daumen

Der Nenner ist immer positiv im Definitionsbereich R\{-5}

Der Zähler muss daher <=0 werden.

1. x-1 <=0 u. 3-x >= 0

x<=1 u. x<=3

-> x <=1

2. x>=1 u. x>=3

-> x >=3

L= R\]1;3[ = R\(1;3)

Avatar von 39 k
L= R\[1;3]


Du hast dich vermutlich bei den Klammern vertippt. Diese Schreibweise schließt die doch zur Lösungsmenge gehörenden Werte 1 und 3 aus.

Warum ist es bei x-1 =< 0 und bei 3-x >= 0 ?

Und bei der Zeile darunter beides > ?

Und bei Photomath ist die Lösung (-∞, -5) u (-5,-1] u [3,+∞)

Und bei Photomath ist die Lösung (-∞, -5) u (-5,-1] u [3,+∞)



Der Antwortgeben hat oben richtig geschrieben, dass -5 nicht zum Definitionsbereich gehört.

In der Angabe der (mittlerweile korrigierten) Lösungsmenge hat er dann an diesen Fakt wohl nicht mehr gedacht. Neben dem Intervall ]1;3[ muss auch der Wert -5 von der Lösungsmenge ausgeschlossen werden (wie das auch Photomath gemacht hat).

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage