Zeige: B ist die Matrix, die man erhält, wenn man in der Matrix A von der dritten Zeile das \ell_{1} -fache der …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

H) Sei \( B=L A \) wobei \( A \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) und
\( L=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\ell_{1} & 1 & 0 \\ 0 & -\ell_{2} & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \ell_{1}, \ell_{2} \in \mathbb{R} . \)

Zeige: \( B \) ist die Matrix, die man erhält, wenn man in der Matrix \( A \) von der dritten Zeile das \( \ell_{1} \)-fache der zweiten Zeile abzieht und von der vierten Zeile das \( \ell_{2} \)-fache der zweiten Zeile abzieht.

Was geschieht, wenn man \( L \) und \( A \) in umgekehrter Reihenfolge multipliziert? Tipp: Berechne \( C=A L \) und interpretiere das Ergebnis als Spaltenoperation.

Problem/Ansatz:

Ich Verstehe diese Aufgabe nicht so ganz kann jemand weiterhelfen?

Answer 1

L ist das Produkt zweier Elementarmatrizen (die Gaussche Eliminationsschritte beschreiben)

L A - Zeilenadditionen

A L - Spaltenadditionen

Sei

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}a11&a12&a13&a14\\a21&a22&a23&a24\\a31&a32&a33&a34\\a41&a42&a43&a44\\\end{array}\right)\)

dann

\(\small L A :=\left(\begin{array}{rrrr}a11&a12&a13&a14\\a21&a22&a23&a24\\-a21 \; l_{1} + a31&-a22 \; l_{1} + a32&-a23 \; l_{1} + a33&-a24 \; l_{1} + a34\\-a21 \; l_{2} + a41&-a22 \; l_{2} + a42&-a23 \; l_{2} + a43&-a24 \; l_{2} + a44\\\end{array}\right)\)

und

\(\small A L := \left(\begin{array}{rrrr}a11&-a13 \; l_{1} - a14 \; l_{2} + a12&a13&a14\\a21&-a23 \; l_{1} - a24 \; l_{2} + a22&a23&a24\\a31&-a33 \; l_{1} - a34 \; l_{2} + a32&a33&a34\\a41&-a43 \; l_{1} - a44 \; l_{2} + a42&a43&a44\\\end{array}\right)\)