Schwarzsche Ungleichung usw

Question

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Aufgabe H 9. Ungleichungen
(a) Für welche \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \) gilt \( \left(5 x+y^{3}+2 z^{2}\right)^{2} \leqq 30\left(x^{2}+y^{6}+z^{4}\right) \) ? Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.
(b) Zeigen Sie, dass \( 2 x y \leqq(x+y) \sqrt{x y} \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}_{0}^{+} \)gilt.
(c) Seien \( y_{1}, y_{2}, \ldots \) positive reelle Zahlen und sei \( \mu_{N}:=\frac{1}{N} \sum \limits_{j=1}^{N} y_{j} \) für alle \( N \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( y_{N+1}\left(\mu_{N}\right)^{N} \leqq\left(\mu_{N+1}\right)^{N+1} \) für alle \( N \in \mathbb{N} \) gilt. Hinweis: Benutzen Sie die Bernoulli-Ungleichung mit \( n=N+1 \) und \( x=\frac{\mu_{N+1}}{\mu_{N}}-1 \).

Aufgabe:

Hallo Leute,

ich habe die Aufgabe zu lösen, bin aber völlig überfordert mit dem Ganzen. Ich bräuchte dringend Hilfe.

Answer 1

z.B. b) Für x=0 oder y=0  gilt es offenbar. Also kann man annehmen,

dass beide nicht 0 sind.

Da x,y ∈ℝ_o⁺   ist nichts negatives dabei, also ist das

Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

                   \( 2 x y \leqq(x+y) \sqrt{x y} \)

<=>          \( 4 x^2  y^2  \leqq(x+y)^2 \cdot (xy)   \)

Da xy≠0 kann man dividieren

<=>          \( 4 x y \leqq(x+y)^2   \)

<=>          \( 4 x y \leqq x^2 + 2xy +y^2  \)

<=>          \( 0 \leqq x^2 - 2xy +y^2  \)

<=>          \( 0 \leqq (x-y)^2   \)  Was offenbar stimmt.

Zu den anderen Teilen sind ja Tipps gegeben.

Answer 2

(a)

Laut Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe bei Spezialfälle \(\mathbb R^n\)) gilt für alle \((x,y,z)\in \mathbb R^3\):

\( \left(5 x+y^{3}+2 z^{2}\right)^{2} = \left( \begin{pmatrix}5 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y^3 \\ z^2\end{pmatrix}\right)^2 \)

\(\stackrel{\text{Cauchy-Schw.}}{\leq} (5^2+1^2+2^2)(x^2 + (y^3)^2 +(z^2)^2) = 30(x^2+y^6+z^4)\)

(b)

Wenn \(x=0\) oder \(y=0\), sind beide Seiten der Ungleichung Null.

Sei also \(x,y>0\). Insbesondere gilt dann \(x = (\sqrt x)^2\) und \(y = (\sqrt y)^2\). Die gegebene Ungleichung ist äquivalent zu

\(2\sqrt x\sqrt y \leq x+y = (\sqrt x)^2 + (\sqrt y)^2\)

\(\Leftrightarrow\)

\(0 \leq (\sqrt x)^2 + (\sqrt y)^2 - 2\sqrt x\sqrt y = (\sqrt x - \sqrt y)^2\)

(c)

Das ist etwas Rechnerei. Beachte hierbei, dass

\(N\mu_N = \sum_{j=1}^Ny_i\) für alle natürlichen \(N \quad (\star)\)

Die gegebene Ungleichung ist äquivalent zu

\(\left(\frac{\mu_{N+1}}{\mu_N}\right)^{N+1}\geq \frac{y_{N+1}}{\mu_N} \quad (1)\)

Jetzt zeigen wir (1) mithilfe des Hinweises:
\(\left(\frac{\mu_{N+1}}{\mu_N}\right)^{N+1} = \left(1 + \left(\frac{\mu_{N+1}}{\mu_N}-1\right)\right)^{N+1}\)

\(\stackrel{\text{Bernoulli}}{\geq}1 + (N+1) \left(\frac{\mu_{N+1}}{\mu_N}-1\right)\)

\(\stackrel{(\star) \text{ mit } N+1}{=} \frac{\sum_{j=1}^{N+1}y_i}{\mu_N} - N\)

\(\stackrel{(\star) \text{ mit } N}{=} \frac{y_{N+1}}{\mu_N}\)