Wahrscheinlichkeitsrechnung mit bedingter Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt 5% treten die Kunden ihre gebuchte Reise nicht an. Dabei treten Reisende unter 50 Jahren eine Buchung deutlich häufiger nicht an als Reisende über 50 Jahren. [Reisende, die genau 50 Jahre alt sind, werden zur Gruppe der Reisenden über 50 Jahren gezählt.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buchung nicht angetreten wird, betrage bei Reisenden unter 50 Jahren 6%, bei Reisenden über 50 Jahren nur 2%

b) Ein Reisender wird zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit x, dass es sich um einen Reisenden unter 50 Jahren handelt.
[Kontrolllösung: x = 0,75].

Problem/Ansatz:

Wie kommt man ganz genau zum Kontrollergebnis??

Answer 1

Ich definiere zunächst folgende Ereignisse:

N - nicht erscheinen

J - jung: Alter < 50

A - alt: Alter $\geq$ 50

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind gegeben:
$P(N) = 5\%$

$P(N\,|\, J) = 6\%$

$P(N\,|\, A) = 2\%$

Gesucht ist $x = P(J)$.

Mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten erhält man folgende Gleichung für $P(J)$

$\begin{array}{rcl}P(N) &= & P(N\cap A) + P(N\cap J) \\ & = & P(N\,|\, A)\cdot P(A) + P(N\,|\, J)\cdot P(J) \\ & = & P(N\,|\, A)\cdot (1-P(J)) + P(N\,|\, J)\cdot P(J)\end{array}$

Werte einsetzen ergibt die Gleichung

$5\% = 2\% (1-x) + 6\%x$

$\Rightarrow x= P(J) = \frac 34 = 0.75$