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Aufgabe:

mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt 5% treten die Kunden ihre gebuchte Reise nicht an. Dabei treten Reisende unter 50 Jahren eine Buchung deutlich häufiger nicht an als Reisende über 50 Jahren. [Reisende, die genau 50 Jahre alt sind, werden zur Gruppe der Reisenden über 50 Jahren gezählt.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buchung nicht angetreten wird, betrage bei Reisenden unter 50 Jahren 6%, bei Reisenden über 50 Jahren nur 2%


b) Ein Reisender wird zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit x, dass es sich um einen Reisenden unter 50 Jahren handelt.
[Kontrolllösung: x = 0,75].


Problem/Ansatz:

Wie kommt man ganz genau zum Kontrollergebnis??

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Ich definiere zunächst folgende Ereignisse:

N - nicht erscheinen

J - jung: Alter < 50

A - alt: Alter \geq 50

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind gegeben:
P(N)=5%P(N) = 5\%

P(NJ)=6%P(N\,|\, J) = 6\%

P(NA)=2%P(N\,|\, A) = 2\%

Gesucht ist x=P(J)x = P(J).

Mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten erhält man folgende Gleichung für P(J)P(J)

P(N)=P(NA)+P(NJ)=P(NA)P(A)+P(NJ)P(J)=P(NA)(1P(J))+P(NJ)P(J)\begin{array}{rcl}P(N) &= & P(N\cap A) + P(N\cap J) \\ & = & P(N\,|\, A)\cdot P(A) + P(N\,|\, J)\cdot P(J) \\ & = & P(N\,|\, A)\cdot (1-P(J)) + P(N\,|\, J)\cdot P(J)\end{array}

Werte einsetzen ergibt die Gleichung

5%=2%(1x)+6%x5\% = 2\% (1-x) + 6\%x

x=P(J)=34=0.75\Rightarrow x= P(J) = \frac 34 = 0.75

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