Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um x = 0

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um x = 0 jeweils bis einschließlich zur zweiten nicht verschwindenden Ordnung:

a) f(x) = (1 − cos x)²

Problem/Ansatz:

Hey,

ich habe f´(x) = 2sinx, f´´(x) = 2cosx ......

dann kommt für die taylor reihe raus

f(x) = 1+x (bis zur zweiten nicht verschwindenen Ordnung) ist das richtig? erscheint mir etwas komisch

danke !

Answer 1

f(x) = (1 − cos x)² Kettenregel beachten !

==>   f ' (x) =2 (1 − cos x)*sinx

Comments

ja ok das ergibt sinn danke!

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aber kommt dann nicht trotzdem f(x) = 1+x raus?

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hab meinen Fehler gefunden alles gut

Answer 2

Hilfestellung von Wolframalpha

Answer 3

Du kannst es dir hier einfacher machen, da du sicherlich die Potenzreihe für $\cos x$ schon kennst:

$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

Nun gilt

$(1-\cos x)^2 = 1 - 2\cos x + \cos^2x \quad (1)$

Jetzt schlägt man schnell eine trigonometrische Formel für $\cos^2 x$ nach oder rechnet einfach selber nach:

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x -1 \Longleftrightarrow \cos^2 x = \frac 12(1+\cos 2x)$

Also

$\cos^2 x= \frac 12 + \frac 12\left( 1-\frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ... \right)$

Das setzt du jetzt in (1) ein und erhältst

$(1-\cos x)^2 = 1 - 2\left(1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...\right) + \cdots$

$\cdots + \frac 12 + \frac 12\left( 1-\frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ... \right)$

Zusammenfassen von Gliedern gleicher Potenzen gibt

$(1-\cos x)^2 =\frac{x^4}4 - \frac{x^6}{24} + ...$

Jetzt sind wir fertig, da nur bis zur zweiten nicht verschwindenden Ordnung entwickelt werden sollte.

Und es mussten keine vielen Ableitungen der Funktion berechnet werden.

Answer 4

Der einfachste Startpunkt ist die Reihe

 $\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

und die dann schrittweise einsetzen:

$1-\cos x = \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - ...$,

also

$(1-\cos x)^2 = (\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - ...)^2$

dann ausmultiplizieren, nur die niedrigeren Terme, auf die Potenzen achten:

$= (\frac{x^2}{2!})^2 - 2\frac{x^6}{2!\,4!} + (...)\cdot x^8 + ... = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + ...$

fertig, ohne Ableiten und ohne Additionstheoreme.