g Verknüpft mit f messbar, dann ist auch g (bzw. f) messbar widerlegen

Question

Aufgabe:

Sei $\mu$ ein Maß auf $\mathbb{R}^{N}$, für das nicht messbare Mengen $E \subset \mathbb{R}^{N}$ existieren. Weiter seien $f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ Funktionen:

Ist $g \circ f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} \mu$-messbar, so ist $g \mu$-messbar;
Ist $g \circ f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R} \mu$-messbar, so ist $f \mu$-messbar;

Problem/Ansatz:

Wenn ich richtig liege, müssten beide Aussagen falsch sein - ich müsst diese also widerlegen. Dabei komme ich allerdings nicht wirklich weiter.

Dass, dass $g \circ f$ messbar ist, wenn $(g \circ f)^{-1}((\alpha, \infty))$ für alle $\alpha$ messbar ist, ist mir klar - aber wie kann ich nun den Gegenbeweis konstruieren?

Danke für Hilfe!

Answer 1

Nimm eine nicht-messbare Funktion, z.B. die charakteristische Funktion zu einer nicht-messbaren Menge und kombiniere sie mit der Null-Funktion (die alles auf 0 abbildet).