Untersuchen Sie die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{|x-a|} \) mit \( D(f)=[0,3] \backslash\{a\} \) in Abhängigkeit des reellen Parameters \( a \) auf Monotonie, Beschränktheit, Injektivität und Symmetrie.
Aufgabe 11:
Eigenschaften von Funktionen Rechnen Sie jeweils die folgenden Aussagen in aller Allgemeinheit nach, falls diese richtig sind, oder widerlegen Sie jeweils die folgenden Aussagen durch Angabe eines Gegenbeispiels, falls diese nicht richtig sind. Seien \( f \) und \( g \) reelle, streng monoton wachsende Funktionen auf demselben Definitionsbereich.
a) Dann ist auch die Funktion \( f+g \) streng monoton wachsend.
b) Dann ist auch die Funktion \( f \cdot g \) streng monoton wachsend.
c) Dann ist auch die Funktion \( f \circ g \) streng monoton wachsend. (Dass es \( f \circ g \) gibt, sei voraus gesetzt.)
Aufgabe 12:
Eigenschaften periodischer Funktionen
a) Gegeben ist eine ungerade Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( y=f(x) \) mith Periode \( 2 . \) Was lisst sich über den Funktionswert an der Stelle \( x=-1 \) aussagen?
b) Konstruieren Sie eine nach oben, aber nicht nach unten beschränkte Funktion \( g \) aus \( \mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \) mit Periode \( 1 . \) Kann eine derartige Funktion gerade sein? Kann sie ungerade sein?
Ansätze:
Aufgabe 11 a habe ich:
\( f(x) = f(x_1) \lt f(x_2) \\ g(x) = g(x_1) \lt g(x_2) \)
1) \( f(x_1) + g(x_2) \lt f(x_2) + f(x_2) \) \) ja
2) \( f(x_1) · g(x_1) \) nein (minus mal minus ist plus)
3) \( f( g(x_1) ) \)
Aufgabe b versucht, c nicht geschafft.
