Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine Funktionsgleichung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine Funktionsgleichung. Überlegen Sie zunächst, welchen Ansatz Sie für die Funktion wählen und welche Symmetrieeigenschaften Sie ausnutzen können.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie man da vorgehen kann und eine Gleichung bestimmen kann

Answer 1

Überlege dir, welchen Grad die Funktionen haben und mache Ansätze der Form \(f(x) = ax^4+bx^3+cx^2 +dx+e\) (hier z. B. für Grad 4). Nutze Symmetrien aus.

Stelle dann die Bedingungen auf, zum Beispiel \(f(2)=5\), wenn ein Graph durch den Punkt \((2\mid 5)\) verläuft oder \(f'(2)=0\) wenn bei \(x=2\) ein Extrempunkt liegt.

Setze dann das \(x\) in deinen Ansatz ein und du erhältst Gleichungen.

Löse das LGS.

Tipp: Suche mal nach Steckbriefaufgaben.

Answer 2

a)

\(A(-1|1)\)   \(B(1|-1)\)    \(U(0|0)\) liegen auf dem Graphen .

Es liegt eine Symmetrie zum Ursprung vor.

Ich verschiebe den Graphen von f(x) um 1 Einheit nach unten:

\(A´(-\red{1}|0)\)  \(B´(1|-2)\)    \(U´(0|-1)\)

\(f(x)=a*(x+\red{1})^2*(x-N)\)

\(B´(1|-2)\):

\(f(1)=a*(1+\red{1})^2*(1-N)=4a*(1-N)=-2\)

\(2a*(N-1)=1\) →    \(a=\frac{1}{2N-2}\) 

\(f(x)=\frac{1}{2N-2}*(x+\red{1})^2*(x-N)\)

\(U´(0|-1)\):

\(f(0)=\frac{1}{2N-2}*(0+\red{1})^2*(0-N)=\frac{1}{2N-2}*(-N)\)

\(\frac{1}{2N-2}*(-N)=-1\)→\(\frac{1}{2N-2}*(N)=1\)→\(N=2\)     \(a=\frac{1}{2*2-2}=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}*(x+\red{1})^2*(x-2)\)

um 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{2}*(x+\red{1})^2*(x-2)+1\)

Comments

Für die Aufgabe b) siehe:

https://www.mathelounge.de/265069/funktionsgleichung-aufstellen-anhand-von-zwei-tiefpunkten

Answer 3

b)

Verschiebe zunächst den Graphen gedanklich um 4 Einheiten nach oben und stelle die faktorisierte Form auf

f(x) = a·((x + 2)·(x - 2))^2 = a·(x^2 - 4)^2 = a·(x^4 - 8·x^2 + 16)

f(0) = a·(0^4 - 8·0^2 + 16) = 4 --> a = 1/4

Verschiebe am Ende die ganze Funktion wieder 4 Einheiten nach unten

f(x) = 1/4·(x^4 - 8·x^2 + 16) - 4 = 1/4·x^4 - 2·x^2

Alternativ:

Achsensymmetrische Funktion 4. Grades, die durch den Ursprung verläuft

f(x) = a·x^4 + b·x^2
f'(x) = 4·a·x^3 + 2·b·x

Der Punkt (2 | -4) ist Tiefpunkt der Funktion

f(2) = a·2^4 + b·2^2 = 16·a + 4·b = -4
f'(2) = 4·a·2^3 + 2·b·2 = 32·a + 4·b = 0   | II - I

16·a = 4 → a = 1/4
16·1/4 + 4·b = -4 --> b = -2

Auch damit lautet die Funktion

f(x) = 1/4·x^4 - 2·x^2

Answer 4

Hallo,

wegen der Symmetrien machst du folgende Ansätze:

a) f(x)=ax³+bx

b) f(x)=ax^4+bx²+c

Bei b) erkennst du sofort, dass c=0 ist, da der Punkt (0|0) auf der Kurve liegt.

Nun musst du noch jeweils a und b bestimmen. Das machst du, indem du einen der beiden gegebenen Punkte einsetzt. Da die gegenenen Punkte auch noch lokale Extrema sind, hast du die jeweils zweite Bedingung mit f'(x)=0.

:-)