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Aufgabe:

Sei V\mathcal{V} ein normierter Vektorraum und GVG \subseteq \mathcal{V} ein Gebiet. Zeige, dass GG wegzusammenhängend ist.

Problem/Ansatz:

Ich dachte, man könnte die Menge G(x) : ={yG  es existiert ein Weg von x nach y in G}G(x) := \{ y \in G \ | \ \text{es existiert ein Weg von \(x\) nach \(y\) in \(G\)}\} betrachten und dann zeigen, dass sie offen und abgeschlossen ist. Was hält ihr davon, oder genauer gesagt, wie würdet ihr die Offen- und Abgeschlossenheit zeigen?

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Wie habt Ihr "Gebiet" definiert?

@Mathhilf Wenn (X,d) ein m.R. ist, dann ist ein Gebiet eine nichtleere, offene, zusammenhängende Teilmenge von X.

Und wie ist dabei "zusammenhängend" definiert? Von "abgeschlossen" sehe ich da übrigens nichts.

@nudger X ist zusammenhängend, falls fuer alle offenen Teilmengen U,VXU,V \subseteq X: UV=X und UV=U= oder V=U \cup V = X \text{ und } U \cap V = \emptyset \Rightarrow U = \emptyset \text{ oder } V = \emptyset gilt

1 Antwort

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Ok, dann passt das.

Ja, das kannst Du so machen und das ist auch ein üblicher Weg. Die Idee im Beweis ist, dass der Weg jeweils ein kleines Stück verlängert werden kann ohne G(x) zu verlassen.

Wenn Du es nachlesen willst:

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/Analysis2SS16/skript…

dort Satz 19.2

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