Steckbrief Aufgaben Funktione modellieren

Question

Aufgabe

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(014) an.

Problem/Ansatz

Ich verstehe nicht ganz welche Punkte man hier rausschreibende sollte

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|14) an.

$W_1(-1|1,5)$               $W_2(1|1,5)$

Ich verschiebe den Graphen um $\red{14}$ Einheiten nach unten:

$P(0|\red{14})$  →$P´(0|\red{0})$

$f(x)= a\cdot x^2(x-N)\cdot(x+N)=a\cdot x^2(x^2-N^2)$   wegen achsensymmetrisch zur y-Achse

$W_1(-1|1,5)$→$W_1(-1|-12,5)$:

$f(x)= a\cdot 1(1-N^2)=-12,5$

$a\cdot (N^2-1)=12,5$

$a=\frac{12,5}{N^2-1}$

$f(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [x^2(x^2-N^2)]$

$f(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [x^4-N^2x^2]$

$f´(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [4x^3-2N^2x]$

$f´´(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12x^2-2N^2]$

Wendepunkteigenschaft:

$f´´(1)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12-2N^2]$

$\frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12-2N^2]=0$

$12-2N^2=0$ $N_1=\sqrt{6}$     $N_2=-\sqrt{6}$   $a=\frac{12,5}{5}=2,5$

$f(x)=2,5\cdot x^2(x^2-6)$

$\red{14}$ Einheiten nach oben:

$p(x)=2,5\cdot x^2(x^2-6)+14$

Comments

@Moliets

die Frage war "Ich verstehe nicht ganz welche Punkte man hier rausschreibende sollte"

Eine wunderschöne Lösung  der gesamten Aufgabe war nicht gefragt. Musst du zeigen, dass du sowas kannst? Das akzeptiere ich gerne, wenn du in der 11. oder 12, Klasse bist, sonst find ich das nicht angemessen,

lul

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Stimme da zu. Sowas kann man doch echt mal lassen.

Zumal der Ansatz auch echt unschön und eher verwirrend ist.

Answer 2

Hallo

1. Achsensymmetrisch also nur gerade Exponenten, damit hat man nur 3 Unbekannte.  bei x=0 muss ein extremum sein

dann hat man den Punkt für den Wendepunkt, und dort die 2 te Ableitung, also 3 Bestimmungsgleichungen .

Gruß lul

Comments

Die Information, dass an der Stelle 0 ein Extrempunkt liegt, liefert keine zusätzliche Gleichung, da stets $f'(0)=0$ gilt.

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Danke,  für die Ergänzunges war aber auch der y Wert bei 0 gegeben.

lul

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Ich wollte nur darauf hinweisen, dass die notwendige Bedingung hier keine weitere Information liefert. Normalerweise bekommt man durch Extrempunkte ja sonst zwei Bedingungen.

Answer 3

eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt.

Da kommen die Punkte (1 | 3/2), (-1 | 3/2), (1 | -3/2) und (-1 | -3/2) in Betracht.

Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(014) an.

Da kommt der Punkt (0 | 4) in Betracht.

Answer 4

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Aufgrund der Achsensymmetrie gilt b = d = 0

Dann gelten folgende Bedingungen

f(0) = 4
f(1) = ± 1.5
f''(1) = 0

und damit die Gleichungen

e = 4
a + c + e = ± 1,5
12a + 2c = 0

Damit ergeben sich die Lösungen

f1(x) = 0,5·x⁴ - 3·x² + 4
f2(x) = 1,1·x⁴ - 6,6·x² + 4

Aufgrund der etwas schöneren Koordinaten ist hier vielleicht f1 gesucht gewesen.