Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse des Koordinatensystems. Die Wendepunkte liegen jeweils eine Einheit weit von der y-Achse und 3/2 Einheiten von der x-Achse entfernt. Ihr relatives Maximum nimmt die Funktion im Punkt P(0|14) an.
\(W_1(-1|1,5)\) \(W_2(1|1,5)\)
Ich verschiebe den Graphen um \(\red{14}\) Einheiten nach unten:
\(P(0|\red{14})\) →\(P´(0|\red{0})\)
\(f(x)= a\cdot x^2(x-N)\cdot(x+N)=a\cdot x^2(x^2-N^2)\) wegen achsensymmetrisch zur y-Achse
\(W_1(-1|1,5)\)→\(W_1(-1|-12,5)\):
\(f(x)= a\cdot 1(1-N^2)=-12,5\)
\( a\cdot (N^2-1)=12,5\)
\( a=\frac{12,5}{N^2-1}\)
\(f(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [x^2(x^2-N^2)]\)
\(f(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [x^4-N^2x^2]\)
\(f´(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [4x^3-2N^2x]\)
\(f´´(x)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12x^2-2N^2]\)
Wendepunkteigenschaft:
\(f´´(1)= \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12-2N^2]\)
\( \frac{12,5}{N^2-1}\cdot [12-2N^2]=0\)
\( 12-2N^2=0\) \( N_1=\sqrt{6}\) \( N_2=-\sqrt{6}\) \( a=\frac{12,5}{5}=2,5\)
\(f(x)=2,5\cdot x^2(x^2-6)\)
\(\red{14}\) Einheiten nach oben:
\(p(x)=2,5\cdot x^2(x^2-6)+14\)
