Wie klein darf die Zahl k gewählt werden?

Question

Hallo Liebe Community, könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?

Ein Computerhersteller will eine neue Bestückungsmaschine für Platinen kaufen. Die Ausschussrate soll höchstens 5% sein. Zur Kontrolle wird ein Probelauf mit 20 Platinen durchgeführt. Sind mehr als k Platinen fehlerhaft bestückt, so muss die Produktion
gestoppt und kostenfrei nachgebessert werden.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man bei einer tatsächlichen Ausschussrate
von (genau) 5% höchstens 3 fehlerhafte Platinen?
b) Wie klein darf die Zahl k gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen
Produktionsstopp trotz ausreichender Ausschussrate kleiner als 10% ist?

Bei a.) habe ich ein Ergebnis von 98,35 % raus.

Könntet ihr mir aber bitte bei b helfen?

Answer 1

a) P(X<=3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

= 0,95²⁰+ 20*0,05*0,95¹⁹+ (20über2)*0,05²*0,95¹⁸+ (20über3)*0,05³*0,95¹⁷

0,98409847398 = 98,41%

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

b) Σ (20überk)*0,05^k*0,95^(20-k) < 0,9

Hier musst du in einem Tabellenwerk nachschlagen oder Rumprobieren auf der verlinkten Seite.

Lösung: 2

Comments

Bei b) muss das Relationszeichen umgedreht werden.

Gesucht ist bei $p = 0.05, \, X\sim B(20,0.05)$ das kleinstmögliche $k$, sodass

$P(X>k) < 0.1 \Leftrightarrow P(X\leq k) > 0.9$

Aus a) weiß man schon

$P(X \leq 3) \approx 0.9841 > 0.9$.

Also muss man nur noch Werte $k<3$ überprüfen. So findet man ohne weiteres $k=2$.

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\(P(X>k) < 0.1 kannst du mir sagen, warum du da x>k ist?

Ich hätte da gesagt, dass x<=k ist. Und das ist auch mein Fehler

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@ Pascal534

Sind mehr als k Platinen fehlerhaft bestückt, so muss die Produktion
gestoppt und kostenfrei nachgebessert werden.

b) Wie klein darf die Zahl k gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Produktionsstopp trotz ausreichender Ausschussrate kleiner als 10% ist?

... also $X>k$