Rekonstruktion quadratische Parabel

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei -1 und nimmt ihr Minimum bei x = 4 an. Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0 ; 1] ein Flächenstück zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt 12 beträgt.
Um welche Funktion handelt es sich?

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

f(x) = ax^2+bx+c

f '(x) = 2ax+b

f(0) = -1
c= -1

F(x) = a/3*x^3+ b/2*x^2-x

f '(4)= 0

8a+b= 0

b= -8a

[a/3*x^3 -8a/2*x^2-x] von 0 bis 1 = -12

a/3/3-4a-1 -0 = -12

-11/3*a = -11

a = 3

b= -24 =

f(x) = 3x^2-24x-1

Comments

8a+b= 4

$$f'(4)=0 \implies 2a \cdot 4 + b = 0 \implies 8a+b={\color{red}0}$$

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Danke, Werner.

Meine Konzentrationsprobleme nehmen leider zu seit der OP-Vollnarkose.

Answer 2

Ich empfehle https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

f(x) = ax^2 + bx + c
F(x) = 1/3*ax^3 + 1/2*bx^2 + cx

Eigenschaften

f(0) = -1
f'(4) = 0
F(1) - F(0) = -12

Gleichungssystem

c = -1
8·a + b = 0
1/3·a + 1/2·b + c = -12

Errechnete Funktion

f(x) = 3·x² - 24·x - 1

Skizze

~plot~ 3x^2-24x-1;[[-1|9|-50|10]] ~plot~