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Aufgabe:

Der Graph einer ganz rationalen Funktion 4. Grades geht durch P(1;1) berührt die x-Achse im Ursprung und hat einen Sattelpunkt bei x=2


Problem/Ansatz:

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e

zu den Eigenschaften:

f(0) = 1 ?

von

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Aloha :)

Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Ursprung, also muss bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle vorliegen, d.h. der Funktionsterm enhält den Faktor \(x^2\), daher hat die Funktionsgleichung die Form:$$f(x)=x^2(ax^2+bx+c)=ax^4+bx^3+cx^2$$Der Graph hat einen Sattelpunkt bei \(x=2\), also verschwinden dort die ersten beiden Ableitungen:$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx\quad\implies\quad 0\stackrel!=f'(2)=32a+12b+4c$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c\quad\implies\quad 0\stackrel!=f''(2)=48a+12b+2c$$Der Punkt \((1|1)\) liegt auf dem Graphen:$$1=f(1)=a+b+c$$Damit haben wir folgendes Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix}8 & 3 & 1\\24 & 6 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Mit der Lösung:$$a=\frac{3}{11}\quad;\quad b=-\frac{16}{11}\quad;\quad c=\frac{24}{11}$$

Der gesuchte Funktionsterm lauet daher:$$f(x)=\frac{1}{11}\left(3x^4-16x^3+24x^2\right)$$

~plot~ f(x)=1/11*(3x^4-16x^3+24x^2) ; {0|0} ; {1|1} ; {2|16/11} ;[[-1|3,5|-0,5|4]] ~plot~

von 96 k 🚀

An der Stelle x = 2 liegt doch bei diesem Graphen ein Minimum vor oder nicht?

Danke dir, Arsinoe4... hatte irgendwie einen Blackout. Habe es korrigiert ;)

Ist nun bei x=2 ein Sattelpunkt?

Da ist immer noch kein Sattelpunkt zu sehen. Die Steigung an der Stelle x = 2 ist nicht Null.

Es muss doch gelten f'(2) = 0 und f''(2) = 0, da waagerechte Tangente (Sattelpunkt)?

Hatte irgendwie im Hinterkopf, dass bie \(x=2\) eine Nullstelle sein sollte. Aber diese Forderung existierte nur in meinem Kopf, nicht in der Realität...

Hatte irgendwie im Hinterkopf, dass bie \(x=2\) eine Nullstelle sein sollte. Aber diese Forderung existierte nur in meinem Kopf, nicht in der Realität...

.. hast es doch noch gemerkt. Ich hatte den Graphen gerade fertig:$$f\left(x\right)=\frac{1}{11}\left(3x^{4}-16x^{3}+24x^{2}\right)$$


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Also du kannst da ein paar Dinge rauslesen:

f(1) = 1

f(0) = 0

f'(2) = 0

f''(2) = 0

Weißt du, wie du nun weiter machen kannst und woher das kommt?

von

Eine Bedingung an f fehlt noch.

Hmm das stimmt. Sehe aus dem Kontext gerade keine weitere, du?

edit: doch natürlich ("berührt die x-Achse")

d.h. f'(0)=0

\(    \)----

Ich muss dann diese Eigenschaften in Gleichungen übersetzen

Richtig, d.h.:

Erste und zweite Ableitung bilden und Gleichungssystem aufstellen.

Was passiert mit deinem e, siehst du da direkt etwas?

Wenn ich mich nicht irre, müsste e= 0 sein

Korrekt! Wenn du noch Probleme hast, dann frag hier einfach. Ich oder die anderen helfen dir dann gerne

Ich habe mir aufgeschrieben, dass man nach dem ''Übersetzen'' ein Additionsverfahren anwenden muss?

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Dank den Vorarbeiten nun der Lösungsweg:

f(1) = 1    f(0) = 0   f´(0)=0    f'(2) = 0    f''(2) = 0

f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

f(1)=a+b*+c+d+e

1.) a+b+c+d+e=1

f(0)=e   

2.)e=0

f´(x)=4a*x^3+3b*x^2+2c*x+d

f´(0)=d

3.)d=0

f´(2)=4a*2^3+3b*2^2+2c*2+d=32a+12b+4c

4.)32a+12b+4c=0    8a+3b+c=0

f´´(x)=12a*x^2+6b*x+2c

f´´(2)=12a*2^2+6b*2+2c=48a+12b+2c

5.)48a+12b+2c=0     24a+6b+c=0

a=\( \frac{3}{11} \)    b=-\( \frac{16}{11} \)    c=\( \frac{24}{11} \)

f(x)=\( \frac{3}{11} \) *x^4-\( \frac{16}{11} \)*x^3+\( \frac{24}{11} \)*x^2

Unbenannt.PNG

von 17 k

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