Zeigen Sie, dass A ∪ B endlich ist

Question

Sei M eine Menge, und seien A und B endliche Teilmengen von M. Zeigen Sie, dass A ∪ B endlich ist, und bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in A ∪ B. Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Alle Elemente aus A ∪ B sind in A oder in B, da beide

Mengen endlich sind, hat A ∪ B höchstens soviel Elemente

wie die Summe der Anzahlen von A und von B.

Genauer kann man sagen: Jedes Element von A ∪ B

ist in genau einer der drei Mengen

A\( A ∩ B)   oder  A ∩ B  oder B\(A ∩ B)

deren Elementeanzahlen sind   

#A-#(A ∩ B)   und #(A ∩ B) und  #B-#(A ∩ B)

Die Summe der drei ist die Anzahl der Elemente in A ∪ B

#( A ∪ B ) =#A-#(A ∩ B) +  #(A ∩ B)  +  #B-#(A ∩ B)

              =#A+#B - #(A ∩ B)  .

Comments

Da sind viele # wofür stehen die

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#M = Anzahl der Elemente von M.

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Also #A dann Anzahl der Elemente von A richtig

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Genau so ist es.

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Aber wie zeigt man, dass die Vereinigung auch endlich ist

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Alle Elemente aus A ∪ B sind in A oder in B, da beide

Mengen endlich sind, hat A ∪ B höchstens soviel Elemente

wie die Summe der Anzahlen von A und von B. Also ist sie endlich.

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Okay danke das habe ich verstanden. Und das oben Ist die Anzahl an Elementen

Answer 2

Es gibt bijektive Abbildungen von A und B in Anfangsstücke der natürlichen Zahlen.

Konstruiere daraus eine bijektive Abbildungen von A∪B in ein Anfangsstück der natürlichen Zahlen.

bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in A ∪ B

Das ist ohne genauere Kenntnis von A und B nicht möglich.

Natürlich könnte man jetzt

        |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

auspacken. Aber woher weiß ich denn, dass |A|, |B| und |A ∩ B| bekannt sind?

Comments

Wie meinst du das? Wie kann ich die bijektive Abbildung konstruieren