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Wir betrachten ℎ ∶ (0, +∝) × ℝ2 → ℝ3 ∖ {0} mit h(r, φ, ϑ) ∶= (r cos φ sin ϑ, r sin φ sin ϑ, r cos ϑ), (r, φ, ϑ) ∈ (0, +∝)×ℝ
Bestimmen Sie Dh und Jh in allen Punkten aus (0, +∝) × ℝ2.


Hat einer nh Ahnung was ich hier machen muss? Das Thema ist neu und war leider krank. So wie ich das jetzt bisschen verstanden habe muss ich für Dh eine Matrix machen und zwar wie folgt oder?
(ddr(rcos(φ)sin(ϑ))ddφ(rcos(φ)sin(ϑ))ddϑ(rcos(φ)sin(ϑ))ddr(rsin(φ)sin(ϑ))ddφ(rsin(φ)sin(ϑ))............) \begin{pmatrix} \frac{d}{dr}(r cos(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dφ}(r cos(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dϑ}(r cos(φ)sin(ϑ))\\ \frac{d}{dr}(r sin(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dφ}(r sin(φ)sin(ϑ)) & ... \\ ... & ... & ...\end{pmatrix}
Und für Jh (Jacobideterminante) dann die Determinante von Dh oder?

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Aloha ;)

Ja, du liegst richtig, die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:Jh=(gradh1(r;φ;ϑ)gradh2(r;φ;ϑ)gradh3(r;φ;ϑ))=(cosφsinϑrsinφsinϑrcosφcosϑsinφsinϑrcosφsinϑrsinφcosϑcosϑ0rsinϑ)J_h=\begin{pmatrix}\operatorname{grad} h_1(r;\varphi;\vartheta)\\\operatorname{grad} h_2(r;\varphi;\vartheta)\\\operatorname{grad} h_3(r;\varphi;\vartheta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta & -r\sin\varphi\sin\vartheta & r\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & r\cos\varphi\sin\vartheta & r\sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -r\sin\vartheta\end{pmatrix}

Die Determinante ist dann:Dh=cosφsinϑrsinφsinϑrcosφcosϑsinφsinϑrcosφsinϑrsinφcosϑcosϑ0rsinϑ=r2sinϑcosφsinϑsinφcosφcosϑsinφsinϑcosφsinφcosϑcosϑ0sinϑ\small D_h=\left|\begin{array}{c} \cos\varphi\sin\vartheta & -\pink r\sin\varphi\pink{\sin\vartheta} & \green r\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & \pink r\cos\varphi\pink{\sin\vartheta} & \green r\sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -\green r\sin\vartheta \end{array}\right|=r^2\sin\vartheta\left|\begin{array}{c} \cos\varphi\sin\vartheta & -\sin\varphi & \cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & \cos\varphi & \sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -\sin\vartheta \end{array}\right|Dh=r2sinϑ[cos2ϑ(sin2φcos2φ)sin2ϑ(cos2φ+sin2φ)]=r2sinϑ\small \phantom{D_h}=r^2\sin\vartheta\cdot\left[\cos^2\vartheta\left(-\sin^2\varphi-\cos^2\varphi\right)-\sin^2\vartheta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\right]=-r^2\sin\vartheta

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