Berechne (1+i)2023 und (\frac{1+√{-3}}{2})2023

Question

Berechne $(1+i)^{2023}$ und $\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{2023}$

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir überlegen uns zuerst mit den binomischen Formeln, dass gilt:$$(1+i)^2=1^2+2i+i^2\stackrel{(i^2=-1)}{=}1+2i-1=2i$$$$(1+i)^4=\left((1+i)^2\right)^2=(2i)^2=4i^2\stackrel{(i^2=-1)}{=}(-4)$$Damit erhalten wir:$$(1+i)^{2023}=\left((1+i)^4\right)^{505}\cdot(1+i)^2\cdot(1+i)^1=(-4)^{505}\cdot2i\cdot(1+i)$$$$\phantom{(1+i)^{2023}}=(-1)^{505}\cdot(2^2)^{505}\cdot2i\cdot(1+i)=-2^{1010}\cdot2\cdot(i+i^2)=2^{1011}(1-i)$$

zu b) Auch hier nutzen wir zuerst die binomischen Formeln:$$\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^3=\frac{1}{2^3}(1+\sqrt{-3})^3=\frac18(1^3+3\cdot1^2\cdot\sqrt{-3}+3\cdot1\cdot(\sqrt{-3})^2+(\sqrt{-3})^3)$$$$\phantom{\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^3}=\frac18\left(1+3\sqrt{-3}+3\cdot(-3)+(-3)\sqrt{-3}\right)=\frac18(1-9)=-1$$Damit erhalten wir:$$\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{2023}=\left(\underbrace{\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^3}_{=-1}\right)^{674}\cdot\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)^1=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$$

Answer 2

Hallo

schreib es als r*eiφ dann ist es einfach oder bestimme die ersten Potenzen direkt.

Gruß lul