Basis von einem Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei k ∈ N, und seien b1, . . . bk paarweise verschiedene Vektoren, die alle ungleich dem
Nullvektor sind, sodass {b1, . . . , bk} ein Erzeugendensystem des Vektorraums V ist. Zeigen Sie, dass es
m ∈ N und paarweise verschiedene i1, i2, . . . , im ∈ {1, . . . , k} gibt, sodass {bi1 , . . . , bim} eine Basis von V
ist. Ist m eindeutig bestimmt?

Answer 1

Angenomen $\{b_1,\dots,b_k\}$ ist linear abhängig.

Sei o.B.d.A $b_k = \sum_{i=1}^{k-1}\beta_ib_i$.

Sei $v\in V$.

Seien $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ Skalare mit $v = \sum_{i=1}^{k}\alpha_ib_i$.

Es ist

        $\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k}\alpha_{i}b_{i} & =\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{i}b_{i}+\alpha_{k}b_{k}\\ & =\sum_{i=1}^{k-1}\alpha_{i}b_{i}+\alpha_{k}\sum_{i=1}^{k-1}\beta_{i}b_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k-1}\left(\alpha_{i}+\alpha_{k}\beta_{i}\right)b_{i} \end{aligned}$

Also ist $\{b_1,\dots,b_{k-1}\}$ ein Erzeugendensystem von $V$.

Comments

Danke für die Antwort, sie hilft mir sehr weiter! Und wie kann ich zeigen, dass {bi1, ... , bim} linear unabhängig ist? Das muss es doch sein, damit es eine Basis ist, oder?

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1. Setze $i=0$ und $B_i=\{b_1,\dots,b_k\}$.
2. Suche ein $j$ mit $b_j\in B_i$ so dass $b_j$ als Linearkombination der Vektoren aus $B_i\setminus \{b_j\}$ dargestellt werden kann.
3. Falls ein geeignetes $j$ gefunden wurde, dann
   • Setze $B_{i+1} = B_i\setminus \{b_j\}$
     
   • Erhöhe $i$ um $1$.
   • Gehe zurück zu 2.
4. Falls kein geeignetes $j$ gefunden wurde, dann ist $B_i$ linear unabhängig.
   

Der Algorithmus terminiert, weil $B_0$ endlich ist und $\left|B_{i+1}\right| < \left|B_{i}\right|$ ist.