Berechne das Volumen des Körpers, der durch Rotation entsteht

Question

Volumen von Rotationskörpern: Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}}$
um die $x$-Achse zwischen $a=-\frac{1}{2}$ und $b=\frac{1}{2}$ entsteht.

Volcemen von Rotationskörpem
$\begin{array}{rlrl} f(x) & =\frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}}=\left(1-14 x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \quad a=-\frac{1}{2} \quad b=\frac{1}{2} \\ V & =\pi \int f^{2}(x) d x & \\ & =\pi \int\left(\left(1+4 x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{2} d x & u & =1+4 x^{2} \\ & =\pi \int \frac{1}{1+4 x^{2}} d x & d x=\frac{d u}{8 x} \\ & =\pi \int \frac{1}{1+4 x^{2}} \cdot \frac{1}{8 x} d v & \end{array}$

Hallo, leider komme ich hier nicht weiter.

Comments

Standard-Integral (gefühlt unendlich oft im Internet zu finden):

$$\int\frac 1{1+t^2}\, dt = \arctan t \: (+C)$$

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Vielleicht hilft ein Blick in eine gute Formelsammlung. Das unbestimmte Integral ist $\frac{1}{2}$·arctan(2x).

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oder einfach diese Seite:

https://www.integralrechner.de/

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Hilft jetzt nicht weiter, sieht aber gut aus: siehe Desmos-3D.

Answer 1

Aloha :)

Deine Herleitung ist korrekt:$$V=\pi\int\limits_{-\frac12}^{\frac12}\frac{1}{1+4x^2}\,dx$$Du kannst vielleicht noch die Symmetrie der Grenzen ausnutzen:$$V=\pi\int\limits_{\pink0}^{\frac12}\left(\frac{1}{1+4x^2}+\pink{\frac{1}{1+4(-x)^2}}\right)dx=\pi\int\limits_0^{\frac12}\frac{2}{1+(2x)^2}\,dx$$

Das Integral selbst ist ein ganz wichtiges Standard-Integral, das du aber anscheinend nicht kennst. Um es kennen zu lernen, schauen wir uns zuerst die Ableitung der Tangens-Funktion an:$$\small\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$

Damit können wir die Ableitung von $\arctan(a\cdot x)$ bestimmen, weil Funktion und Umkehrfunktion ihre Wirkungen für alle Argumente aus dem Definitionsbereich gegenseitig kompensieren:$$\tan(\arctan(ax))=ax$$Wenn wir beide Seiten ableiten und links die Kettenregel verwenden, erhalten wir:$$\underbrace{(1+\tan^2(\arctan(ax))}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\arctan(ax)\right)'}_{\text{innere Abl.}}=a\quad\implies$$$$(1+(ax)^2)\cdot\left(\arctan(ax)\right)'=a\quad\implies$$$$\pink{\left(\arctan(ax)\right)'=\frac{a}{1+(ax)^2}}$$Diese Ableitung bitte mekrken!!! Mindestens den Sonderfall mit $a=1$ sollte man kennen.

Wenn man diese Ableitung kennt, ist das Integral von oben sofort klar:$$V=\pi\left[\arctan(2x)\right]_0^{1/2}=\pi\,\arctan(1)=\pi\cdot\frac\pi4=\frac{\pi^2}{4}$$