Zeige das folgende Folge für den Startwert x=-0.5 konvergent ist.

Question

Hallo. Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen.

Zeige das folgende Folge für den Startwert x=-0.5 konvergent ist. : (((x²+x)²+x)²+x)²+x)² ....

Besten Dank =)

Comments

Ich würde erst einmal ein paar Folgenglieder ausrechnen....

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Ein Vorschlag: Zu zeigen ist, dass die durch \(x_{n+1}=\big(x_n-\tfrac12\big)^2\) für \(n>0\) mit Startwert \(x_0=0\) rekursiv definierte Folge konvergent ist.
(1)  Zeige per Induktion über \(n\), dass \(\tfrac1{16}\le x_n\le\tfrac14\) für alle \(n>0\) gilt.
(2)  Rechne nach, dass \(\lvert x_{n+1}-x_n\rvert\le\tfrac78{\cdot}\lvert x_n-x_{n-1}\rvert\) für alle \(n>1\) gilt.

Answer 1

erste Folgenglieder

x0 = (-0.5)^2 = 1/4
x1 = (x0 - 0.5)^2 = 1/16
x2 = (x1 - 0.5)^2 = 49/256

Vermutung

x = (x - 0.5)^2 --> x = 1 - √3/2 ≈ 0.13397

Kannst du jetzt zeigen das es gegen diesen Grenzwert konvergiert?

Comments

Wie man damit Konvergenz nachweist, erschließt sich mir nicht. Könntest du das vielleicht einmal vorrechnen?
Im Übrigen ist nach dem konkreten Grenzwert nicht gefragt.