Beweisen Sie, dass die Folge (an)n∈ℕ mit dem Startwert a1 = 1/4 konvergiert und mit dem Startwert a1 = 3/4 divergiert.

Question

Gegeben sei (a_n) n ∈ ℕ mit Startwert a₁ ∈ ℝ sowie

$a_{n+1}:=a_{n}^{2}+\frac{1}{4} \quad$ für $n \in \mathbb{N}$

Beweisen Sie, dass die Folge (a_n) n ∈ ℕ mit dem Startwert a₁ = $\frac{1}{4}$

konvergiert und mit dem Startwert a₁ = $\frac{3}{4}$ divergiert.

Comments

Falls  $a_1=\frac34$ ist, zeige per Induktion über $n$, dass $a_n>\frac n4$ für alle $n$ ist.

Answer 1

Fall 1: $a_1=3/4$

du musst einerseits zeigen, dass die Funktion beschränkt ist und andererseits, dass sie monoton ist:

a) Zeige, dass $a_n\leq 0.5$ und $a_{n+1}\geq a_n$

Fall 2: $a_1=3/4$

Zeige, dass $a_n$ unbeschränkt ist.

________________________________________________________

Etwas heuristischer kannst du sagen:

Man nehme an, der Grenzwert existiere, dann gilt nämlich:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=:x$$ und daraus entspringt die Fixpunktgleichung $x^2-x+\frac{1}{4}=0$ mit der Lösung $x=0.5$. Du wirst sehen, dass $x^2-x+\frac{3}{4}=0$ keine Lösung hat.