Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen eine Metrik sind

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, dass die folgenden Abbildungen eine Metrik sind

1. $$d((x_a, y_a), (x_b, y_b)) \mapsto | x_a - x_b | + | y_a - y_b |$$
2. $$d((x_a, y_a), (x_b, y_b)) \mapsto (x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2$$

Problem/Ansatz:

MMn sind beide Metriken (https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum).

Die Positive Definitheit und Symmetrie habe ich bei beiden gezeigt. Bei der Dreiecksungleichung komme ich leider nicht weiter. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

Answer 1

Beh.: \(d((x_a, y_a), (x_b, y_b)) \le  d((x_a, y_a), (x_c, y_c))  + d((x_c, y_c), (x_b, y_b))  \)

Also nach der Def. zu zeigen:

\(   | x_a - x_b | + | y_a - y_b |   \le | x_a - x_c | + | y_a - y_c |  +  | x_c - x_b | + | y_c - y_b |  \)

Fangen wird rechts an: \(  | x_a - x_c | + | y_a - y_c | +  | x_c - x_b | + | y_c - y_b | \)

  \(  = | x_a - x_c | +  | x_c - x_b | + | y_a - y_c | + | y_c - y_b | \)

Dreeicksungleichung für den Betrag ergibt

\(  \ge | x_a - x_c  +  x_c - x_b | + | y_a - y_c  +  y_c - y_b | \)

\(  | x_a - x_b | + | y_a - y_b |  \)   q.e.d.

Comments

Danke! Beim zweiten konnte ich ein Gegenbeispiel für die Dreiecksungleichung finden, weshalb das keine Metrik sein kann.