Darf man auch Null hoch Null schreiben? 0^0?

Question

Darf man auch 0 hoch 0 schreiben?

0⁰ = ?

Answer 1

Du darfst jederzeit 0⁰ schreiben, jedoch kann die Frage nach dem Ergebnis nicht eindeutig beantwortet werden (im Bereich der reellen Zahlen).

Im Folgenden einige Überlegungen zu diesem Problem:

Variante 1 (vgl. Permanenzprinzip)

0⁰ = 1 weil für jede Zahl gilt: a⁰ = 1
3⁰ = 1
2⁰ = 1
1⁰ = 1
0⁰ = 1


Variante 2

0⁰ = 0  weil für Null hoch eine Zahl die Null herauskommt: 0ⁿ = 0
0³ = 0*0*0
0² = 0*0
0¹ = 0
0⁰ = 0


Variante 3

0⁰ = nicht definiert
Nicht definiert, weil durch beide Varianten 1 und 2 ein Widerspruch entsteht, also keine Eindeutigkeit vorliegt, was in der Mathematik problematisch ist. Dies wird übrigens auch der Grund sein, weshalb viele Taschenrechner bei 0⁰ ein "MATH ERROR" bzw. "- E -" ausgeben.


Um es kurz zu machen, man findet häufig die Antwort: Verwende das, was für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.
Es ist oft sinnvoll 0⁰ = 1 zu verwenden.

Es gibt dazu diverse Literatur und man trifft wie gesagt auf unterschiedliche Handhabungen. In der Informatik setzt sich zum Beispiel 0⁰ = 1 durch. Das kannst du spaßeshalber selbst testen und in Google 0^ 0 eingeben.

Ein weiterer Ansatz:

Schreiben wir 0⁰ zu 0⁰⁺⁰ und nutzen das Potenzgesetz, so entsteht:
0⁰ = 0⁰⁺⁰ = 0⁰ * 0⁰

Es muss also gelten: 0⁰ = 0⁰ * 0⁰

Fragt sich also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt? Euch fallen sicherlich zwei Zahlen ein, für die das möglich ist:

1 * 1 = 1 und 0 * 0 = 0

Allemein gelöst:
x * x = x
x * x = x |:x
x = 1

So sehen wir, dass hier als Lösung x = 1 herauskommt, doch es gibt eine zweite mögliche Lösungen: x = 0, denn x * x = x gilt auch für 0 * 0 = 0 (auch eine wahre Aussage). Dies kann man übrigens nicht "herleiten", es ist ersichtlich!

Grundsätzlich ist aber 0⁰ = 1 vorzuziehen. Würde man 0⁰ = 0 wählen, tauchen in der höheren Mathematik diverse neue Probleme auf.

Ansatz über Grenzwerte:

Die Folge \( a_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^0 \) hat den Grenzwert 1, da a₁=1, a₂=1, ...

Die Folge \( b_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^{\frac{1}{n}} \) hat den Grenzwert 1.

Die Folge \( c_n = \left(d_n\right)^{d_n} \) hat für jede Nullfolge d_n auch den Grenzwert 1.

Das Vorgenannte ist kein Beweis für die Richtigkeit der Definition, zeigt aber wesentliche Fälle, für die 0⁰ = 1 gilt.


\( \left(e^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} = e^{-1} \) geht übrigens gegen 1, obwohl \( \frac{1}{n} \) und \( e^{-n} \) jeweils gegen 0 gehen.

Diesen Artikel gibt es hier: https://www.matheretter.de/wiki/null-hoch-null

Comments

Wolframalpha definiert es als Undefiniert:

Siehe https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0

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Siehe: https://www.wolframalpha.com/input/?i=indeterminate

heisst eher unbestimmt . Vgl die 5 Bedeutungen im Link oben mit der Definition von undefiniert: https://www.wolframalpha.com/input/?i=undefined&lk=4&num=1&lk=4&num=1

0^0 wird in unterschiedlichen Zusammenhängen verschieden definiert. Beispiele findest du in der Antwort oben.

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Dass für die Gleichung x * x = x die Lösung x = 0 nicht hergeleitet werden kann, ist Unsinn.

x² = x ist eine quadratische Gleichung und kann wie folgt umgeformt werden:

x² = x  | -x

x² - x = 0  | x ausklammern

x * ( x - 1 ) = 0

Hier muss also das Produkt auf der linken Seite der Gleichung insgesamt 0 ergeben. Das geht nur, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist, also entweder x = 0 oder x - 1 = 0 und damit x = 1.

Im übrigen ist die obige Umformung der Gleichung „|:x“ hochgradig gefährlich, da durch eine Variable geteilt wird. Wenn man damit so salopp umgeht, kann man z.B. auch 1 = 2 herleiten.

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"(e−n)^(1/n)=e^−1 geht übrigens gegen 1, obwohl \( \frac{1}{n} \) und \( e^{-n} \) jeweils gegen 0 gehen."

(e^−n)^(1/=e^−1 geht übrigens gegen , e^-1 

Der Rechner im Handy sagt übrigens:

 $$(e^{-745})^{(1/745)}*e =1,0007518638$$

$$(e^{-746})^{(1/746)}*e =0$$

Answer 2

Euler hat gesagt

$$0^0=1$$

https://www.mathelounge.de/747636/wer-hat-als-erstes-definiert-dass-x-0-1