Darf man auch Null hoch Null schreiben? 0^0 ?

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Darf man auch 0 hoch 0 schreiben?

00 = ?

Gefragt 21 Feb 2012 von mathe-hausaufgaben

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Beste Antwort

Du darfst jederzeit 00 schreiben, jedoch kann die Frage nach dem Ergebnis nicht eindeutig beantwortet werden (im Bereich der reellen Zahlen).

Im Folgenden einige Überlegungen zu diesem Problem:

Variante 1 (vgl. Permanenzprinzip)

00 = 1 weil für jede Zahl gilt: a0 = 1
30 = 1
20 = 1
10 = 1
00 = 1


Variante 2

00 = 0  weil für Null hoch eine Zahl die Null herauskommt: 0n = 0
03 = 0*0*0
02 = 0*0
01 = 0
00 = 0


Variante 3

00 = nicht definiert
Nicht definiert, weil durch beide Varianten 1 und 2 ein Widerspruch entsteht, also keine Eindeutigkeit vorliegt, was in der Mathematik problematisch ist. Dies wird übrigens auch der Grund sein, weshalb viele Taschenrechner bei 00 ein "MATH ERROR" bzw. "- E -" ausgeben.


Um es kurz zu machen, man findet häufig die Antwort: Verwende das, was für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.
Es ist oft sinnvoll 00 = 1 zu verwenden.

Es gibt dazu diverse Literatur und man trifft wie gesagt auf unterschiedliche Handhabungen. In der Informatik setzt sich zum Beispiel 00 = 1 durch. Das kannst du spaßeshalber selbst testen und in Google 0^ 0 eingeben.

 

Ein weiterer Ansatz:

Schreiben wir 00 zu 00+0 und nutzen das Potenzgesetz, so entsteht:
00 = 00+0 = 00 * 00

Es muss also gelten: 00 = 00 * 00

Fragt sich also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt? Euch fallen sicherlich zwei Zahlen ein, für die das möglich ist:

1 * 1 = 1 und 0 * 0 = 0

Allemein gelöst:
x * x = x
x * x = x |:x
x = 1

So sehen wir, dass hier als Lösung x = 1 herauskommt, doch es gibt eine zweite mögliche Lösungen: x = 0, denn x * x = x gilt auch für 0 * 0 = 0 (auch eine wahre Aussage). Dies kann man übrigens nicht "herleiten", es ist ersichtlich!

Grundsätzlich ist aber 00 = 1 vorzuziehen. Würde man 00 = 0 wählen, tauchen in der höheren Mathematik diverse neue Probleme auf.

Ansatz über Grenzwerte:

Die Folge \( a_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^0 \) hat den Grenzwert 1, da a1=1, a2=1, ...

Die Folge \( b_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^{\frac{1}{n}} \) hat den Grenzwert 1.

Die Folge \( c_n = \left(d_n\right)^{d_n} \) hat für jede Nullfolge dn auch den Grenzwert 1.

Das Vorgenannte ist kein Beweis für die Richtigkeit der Definition, zeigt aber wesentliche Fälle, für die 00 = 1 gilt.


\( \left(e^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} = e^{-1} \) geht übrigens gegen 1, obwohl \( \frac{1}{n} \) und \( e^{-n} \) jeweils gegen 0 gehen.

Beantwortet 21 Feb 2012 von Matheretter 5,9 k

Wolframalpha definiert es als Undefiniert:

Siehe http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%5E0

simonai: 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=indeterminate

heisst eher unbestimmt . Vgl die 5 Bedeutungen im Link oben mit der Definition von undefiniert: http://www.wolframalpha.com/input/?i=undefined&lk=4&num=1&lk=4&num=1

0^0 wird in unterschiedlichen Zusammenhängen verschieden definiert. Beispiele findest du in der Antwort oben.

Hast recht :D

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