Rekursive Folge Bestimmen Grenzwert

Question

Aufgabe:

(a) Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ wird rekursiv definiert durch $f_{1}:=7$, und $f_{n}:=-2 f_{n-1}$ für $n>1$. Bestimmen Sie $\lim \limits_{n \in \mathbb{N}} f_{n}=++\infty$.

(b) Die Folge $\left(g_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ wird rekursiv definiert durch $g_{1}:=7$, und $g_{n}:=g_{n-1}+\frac{1}{n^{2}}$ für $n>1$. Bestimmen Sie $\lim \limits_{n \in \mathbb{N}} g_{n}=\frac{36+\pi^{2}}{6}$.

(c) Die Folge $\left(h_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ wird rekursiv definiert durch $h_{1}:=7$, und $h_{n}:=h_{n-1}+\frac{(-1)^{n}}{n}$ für $n>1$. Bestimmen Sie $\sup _{n \in \mathbb{N}} h_{n}=\quad \frac{15}{2} \quad$ und $\inf _{n \in \mathbb{N}} h_{n}=7$.

Answer 1

Wenn man sich die ersten Folgenglieder aufschreibt sieht man, dass der Betrag immer kleiner wird. Für $n=2$ ist dann schon der größte Wert der Folge erreicht. Den kleinsten Wert haben wir offensichtlich für $n=1$.