Konvergiert diese rekursive Folge? x_(1):=1, x_(n+1):= √(6 + x_(n))

Question

Wie zeige ich jetzt, dass die Folge monoton wächst ?

Und wie zeige ich den Grenzwert?

Answer 1

(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(x_n>0\) für alle \(n\) gilt.

(2) Zeige per Induktion über \(n\), dass \(x_n<3\) für alle \(n\) gilt:
Es ist \(x_1=1<3\). Für \(n\ge1\) gilt$$x_n<3\Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}<\sqrt{6+3}=3.$$(3) Zeige, dass \(x_{n+1}>x_n\) für alle \(n\) gilt:$$(x_{n+1}-x_{n})\cdot(x_{n+1}+x_n)=6+x_n-{x_n}\!\!^2=(2+x_n)\cdot(3-x_n)$$$$\Rightarrow x_{n+1}-x_n=\frac{(2+x_n)\cdot(3-x_n)}{x_{n+1}+x_n}>0.$$(4) Die Folge ist also monoton steigend und nach oben beschränkt und damit konvergent. Der Grenzwert \(x\) berechnet sich aus$$x=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{6+x_{n+1}}.$$

Comments

Ist der Grenzwert = 3   ?

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Ist der Grenzwert = 3 ?

Ja

Answer 2

analysiere für \(x_n > 0 \) die Ungleichung:

$$ \sqrt{6+x_n} \geq x_n $$

Gruß